Ln : Limites

Dans ce cours, nous étudions des limites faisant intervenir la fonction ln et utilisons la technique de factorisation par le terme prédominant pour simplifier les calculs. Dans la première limite, nous avons l'expression 2ln(2x²)-5ln(2x)±1. En factorisant par ln(2x²), nous obtenons 2 + 5/ln(2x) + 1/ln²(2x), qui tendent toutes vers 0. Ainsi, la limite de cette expression est plus l'infini. Dans la seconde limite, nous avons ln(√x) / ln(2x) lorsque x tend vers l'infini. Cette forme est indéterminée, donc nous utilisons les propriétés du logarithme pour simplifier l'expression. En utilisant ln(AB) = ln(A) + ln(B), nous transformons ln(√x) en 1,5ln(x). Nous factorisons ensuite par 1,5 pour obtenir (xln(x) / ln(2x))(1 + ln(2)/ln(x)). Cette expression tend vers 1,5. Enfin, dans la dernière limite, nous calculons x²ln(x) lorsque x tend vers 1. Nous posons grand x = x - 1 pour ramener la limite à une forme plus familière, à savoir xln(x). Comme x tend vers 1, grand x tend vers 0, et nous pouvons simplifier l'expression en x(xln(x)). Nous savons que xln(x) tend vers 0, donc la limite recherchée est égale à 0. En résumé, pour calculer ces limites avec la fonction ln, nous utilisons la factorisation par le terme prédominant et les propriétés du logarithme.