Un classique de BAC : étude de fonction en 2 temps

Le cours aborde un exercice classique d'étude de fonctions où l'on nous donne deux fonctions, F et G, et nous devons les étudier. L'objectif est de déterminer la dérivée de F et d'étudier ses limites. Dans un premier temps, nous devons déterminer l'ensemble de définition de G et calculer ses limites aux bornes de cet ensemble. L'ensemble de définition de G est l'ensemble des réels strictement positifs, car il y a un logarithme dans l'expression. En étudiant les limites de G, nous obtenons que G tend vers 1 en approchant de zéro depuis la droite et tend vers moins l'infini en approchant de l'infini. Ensuite, nous devons étudier la dérivée de F et dresser son tableau de variations. La fonction F est dérivable car elle est la somme de deux fonctions dérivables. En calculant la dérivée de F, nous remarquons une expression similaire à celle de G. Nous utilisons cette observation pour déterminer le signe de la dérivée de F et dresser le tableau de variations. Nous obtenons que F est croissante de moins l'infini à un certain point alpha, puis décroissante. Les limites de F aux bornes de son ensemble de définition sont moins l'infini et zéro. Enfin, nous devons résoudre l'équation F(x) = 0. Pour cela, nous utilisons le théorème des valeurs intermédiaires. Étant donné que F est continue, que 0 appartient à l'intervalle [-infini, 2] et que F est strictement décroissante sur cet intervalle, il existe une unique solution alpha telle que F(alpha) = 0. En résumé, l'exercice consiste à calculer les limites de G et F aux bornes de leur ensemble de définition, à dresser les tableaux de variations des deux fonctions et à résoudre l'équation F(x) = 0 en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.