Changement de variables 1

Bonjour à tous, dans cette vidéo, nous allons effectuer des changements de variables pour calculer des intégrales. La première intégrale est de 1 à 4 de 1-√t sur √dt. Nous la nommons i. Pour effectuer le changement de variable, nous posons x = √t. Donc dx = 1/(2√t) dt. La borne supérieure devient x+ = √4 = 2 et la borne inférieure devient x- = √1 = 1. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Par conséquent, nous pouvons utiliser le théorème et obtenir que i = 2∫(1-x) dx de 1 à 2. En calculant cette intégrale, on trouve que i = -1. Passons maintenant à la deuxième intégrale, qui est de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt. Nous devons poser x = cos²t. En dérivant, nous obtenons dx = -sin2t dt. Les bornes deviennent x+ = cos²π = -1 et x- = cos²0 = 1. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Nous utilisons le théorème pour obtenir que l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt est égale à -∫-1/(1+x²) dx de 1 à -1. Nous reconnaissons cette intégrale comme l'arc tangente et trouvons que cette intégrale est égale à π/2. Enfin, nous évaluons la troisième intégrale, qui est de 1 à e de 1/(2t ln t + t) dt. Nous posons x = ln t. En dérivant, nous obtenons dx = 1/t dt. La fonction f associée à x est 1/(2x + 1). Les bornes sont x+ = ln e = 1 et x- = ln 1 = 0. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Nous utilisons le théorème pour obtenir que cette intégrale est égale à ∫(1/(2x + 1)) dx de 0 à 1. En calculant cette intégrale, nous trouvons que c'est égal à ln(3/2). En résumé, l'intégrale de 1 à 4 de 1-√t sur √dt est égale à -1, l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt est égale à π/2, et l'intégrale de 1 à e de 1/(2t ln t + t) dt est égale à ln(3/2).