Décomposition en éléments simples

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique comment trouver les primitives de fractions polynomiales spécifiques. Il utilise une méthode précise en fonction du discriminant du dénominateur. Si le discriminant est supérieur ou égal à zéro, il décompose la fraction en éléments simples. Si le discriminant est strictement négatif, il met le dénominateur sous forme canonique. Il commence par résoudre l'exemple de la fonction x/(x²+4). Le discriminant est -16, donc il met le dénominateur sous forme canonique x²+4 = (x+0)²+4. La primitive de 1/(x² + a²) est 1/a * arctan(x/a), donc la primitive de x/(x²+4) est 1/2 * arctan(x/2). Ensuite, il résout l'exemple de la fonction 1/(x²+4x+5). Le discriminant est -4, donc il met le dénominateur sous forme canonique x²+4x+5 = (x+2)²+1. Il utilise le théorème fondamental de l'analyse pour intégrer la forme canonique et obtient que la primitive de 1/(x²+4x+5) est arctan(x+2). Enfin, il résoud l'exemple de la fonction 1/(1-x²). Le discriminant est 4, donc il décompose la fraction en éléments simples et obtient que la primitive de 1/(1-x²) est 1/2 * ln(|1+x|/(1-x)). Il explique également comment résoudre les fractions polynomiales plus générales en simplifiant et en utilisant les propriétés de linéarité de l'intégrale. Il rappelle que selon le cas, les primitives peuvent être en racines carrées ou en arctangente. En conclusion, il récapitule les deux méthodes principales pour trouver les primitives de fractions polynomiales : la décomposition en éléments simples lorsque le discriminant est positif et la mise en forme canonique lorsque le discriminant est négatif. Note: La traduction a été légèrement modifiée pour optimiser le texte en termes de SEO.