Primitives et récurrence

Dans cette vidéo, Mathis de studio présente le calcul d'une infinité d'intégrales. Il pose l'intégrale In égale à l'intégrale de 0 à 1 de dx sur x² plus 1, le tout à la puissance n. La première question consiste à exprimer In+1 en fonction de Im pour tout n. Il commence par rechercher une relation entre le rang d'après et le rang d'avant. En utilisant la technique d'intégration par parties, il obtient deux équations qui le conduisent à une expression entre In+1 et In+2. En utilisant la technique du plus-un-moins-un, Mathis parvient à un résultat final : In+1 = 1 sur 2n+1 fois (n+1) moins 1 sur 2n fois In. Il calcule ensuite In pour n = 1 et trouve que I1 est égal à pi sur 4. En utilisant la formule trouvée précédemment, il calcule également les valeurs de I2 et I3, qui sont respectivement égales à 1 quart plus pi sur 8 et 1 quart plus 3 pi sur 32. Il souligne que cette méthode permet de calculer une infinité d'intégrales pour toute valeur de n. Il encourage les spectateurs à retenir la méthode d'intégration par parties, à ne pas se décourager si une tentative ne fonctionne pas et à utiliser la technique du plus-un-moins-un pour comparer le numérateur et le dénominateur. En conclusion, Mathis remercie les spectateurs et leur dit à bientôt.