Récurrence costaude

Dans cette vidéo, on parle de calculs de sommes à l'aide d'intégrales. On commence par poser une intégrale IN, qui va de 0 à pi/4, de la tangente du x à la puissance n, dx. On nous demande tout d'abord de calculer I0 et I1, puis de trouver une relation entre IN et IN+2, et enfin d'en déduire IN en fonction de n. Pour calculer I0, on sait que tangente à la puissance 0 est égal à 1. Donc entre 0 et pi/4, I0 vaut pi/4. Pour calculer I1, on utilise la primitive de la tangente qui est le ln du cosinus. Donc entre 0 et pi/4, on obtient 1.5ln(2). Ensuite, on cherche une relation entre Im et Im+2. On utilise une astuce en faisant la somme de tangente de n+2 moins tangente de n+2. Cela nous permet de faire un changement de variable en posant phi égal à tangente de x. On obtient donc une nouvelle intégrale qui est plus simple à calculer, et cela donne Im = 1/(n+1). Ensuite, on détermine les expressions de In en fonction de la parité de l'indice. Si l'indice est pair, In = 1 - (-1)^n. Si l'indice est impair, In = (-1)^(n+1) * ln(2)/2. Ensuite, on montre que In tend vers 0 quand n tend vers l'infini, ce qui permet de déterminer les limites des suites suivantes. La suite Vn est égale à la somme pour k allant de 1 à n de (-1)^(k-1)/k, et elle tend vers pi/2. La suite Un est égale à la somme pour k allant de 1 à n de (-1)^(k-1)/k, et elle tend vers ln(2). En conclusion, on a utilisé des intégrales pour calculer des sommes, et cela nous a permis de trouver des relations entre les différentes sommes et de déterminer leurs limites.