Équations algébriques avec des complexes

Dans cette vidéo, Paul résout un exercice sur les complexes et plus précisément sur la résolution d'équations algébriques dans ce domaine. Il commence par traiter le cas où n est égal à 0, qui est particulier car dans ce cas, toutes les valeurs de z sont des solutions. Ensuite, pour les cas où n est strictement supérieur à 0, il utilise la notion des racines énièmes de l'unité pour écrire l'équation z sur z-1 élevé à la puissance n égale à 1 comme z sur z-1 appartenant aux racines énièmes de l'unité. Pour k égal à 0, il remarque que la racine est directement égale à 1, ce qui lui permet de conclure qu'il n'y a pas de solution dans ce cas. Pour les valeurs de k entre 1 et n-1, il pose z égal à rho e i theta et utilise cette formulation pour isoler z dans l'équation, déterminant ainsi l'ensemble des solutions. Il remarque également que le cas k égal à 0 doit être traité séparément, car il ne serait pas possible de diviser par e2i kpi sur n-1 si k était égal à 0. En résumé, pour l'équation z sur z-1 élevé à la puissance n égale à 1, l'ensemble des solutions est l'ensemble des complexes lorsque n est 0, il n'y a pas de solution lorsque n est 1, et lorsque n est supérieur à 2, l'ensemble des solutions est 1 demi moins i sur tangente kpi sur n avec k appartenant à 1 n-1. Ensuite, Paul aborde la question 2 de l'exercice, qui concerne l'équation z plus i élevé à la puissance n égale à z moins i élevé à la puissance n, et observe qu'elle a n-1 solutions réelles, qu'il résoudra plus tard. Tout d'abord, il traite le cas n égal à 0, où toutes les valeurs de z sont des solutions. Ensuite, pour les cas où n est strictement supérieur à 0, il manipule l'équation pour l'amener à la forme complexe puissance n égale à 1, en divisant par z moins i. Il isole ensuite z et utilise les formules de l'angle moitié plus les angles de l'aire pour simplifier l'ensemble des solutions. En résumé, pour l'équation z plus i élevé à la puissance n égale à z moins i élevé à la puissance n, l'ensemble des solutions est l'ensemble des complexes lorsque n est 0, et lorsque n est strictement supérieur à 0, l'ensemble des solutions est 1 sur tangente kpi sur n avec k appartenant à 1 n-1, en excluant les valeurs de k égales à 0 et 1.