Inverse

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice qui consiste à démontrer que certaines lois donnent à l'ensemble J une structure de groupe, et à déterminer si ce groupe est abélien ou non. Il commence par parler de la première loi, appelée "loi étoile", qui associe à deux éléments x et y dans l'intervalle (-1,1), l'opération (x+y)/(1+xy). Il veut d'abord prouver que cette loi est interne, c'est-à-dire que x étoile y appartient à J. Il introduit une fonction f(x) = (x+y)/(1+xy) et montre que cette fonction est dérivable et strictement croissante sur l'intervalle (-1,1). Grâce à cela, il conclut que la loi étoile est bien interne. Ensuite, il montre l'associativité de cette loi, ce qui nécessite quelques calculs. Il explique qu'il est également possible de trouver l'élément neutre et l'inversibilité de la loi étoile en effectuant des tests avec des valeurs particulières, mais il ne donne pas de détails sur ces calculs. Finalement, il conclut que la loi étoile est commutative, ce qui signifie que l'ensemble J forme un groupe abélien. Ensuite, Corentin aborde une deuxième loi, toujours appelée "loi étoile", mais cette fois-ci pour l'ensemble G qui est l'espace R². Cette loi associe à deux couples (x,y) et (x',y') de G le couple suivant : (x * x' - y * y', x * y' + x' * y). Il montre que cette loi est interne en montrant que le résultat de l'opération appartient à G. Il procède ensuite à de nombreux calculs pour démontrer l'associativité de la loi étoile, en utilisant des expressions algébriques pour les éléments du groupe G. Puis, il cherche l'élément neutre en testant différentes valeurs de couples et finalement trouve que le couple (0,0) est neutre pour la loi étoile. Il prouve l'inversibilité en testant un couple particulier, et montre qu'il existe un inverse pour tout couple (x,y) dans G. Enfin, il démontre que la loi étoile n'est pas commutative en montrant que le résultat de l'opération dépend de l'ordre des couples dans l'opération. Il conclut donc que G n'est pas un groupe abélien. En résumé, Corentin aborde deux lois différentes, la première sur un ensemble J et la deuxième sur un ensemble G. Il montre que la loi étoile donne à J une structure de groupe abélien, tandis que la loi étoile sur G ne forme pas un groupe abélien.