logo
  • Filtre for math subject Tous les sujets
  • Filtre for math subjectMaths
      Seconde
    • Nombres et calculs
    • Géométrie
    • Fonctions
    • Stats et Probas
    • Première
    • Analyse
    • Géométrie
    • Probas et Stats
    • Terminale
    • Analyse (spé)
    • Géométrie (spé)
    • Probabilités (spé)
    • Arithmétique (exp)
    • Complexes (exp)
    • 2BAC SM Maroc
    • Analyse
    • Algèbre
    • MPSI/PCSI
    • Analyse
    • Algèbre
      • Arithmétique dans Z
      • Structures Algébriques
      • Calcul matriciel et systèmes
      • Espaces Vectoriels
      • Matrice 2ième Partie
    • Probabilités
  • Filtre for math subjectPhysique-Chimie
  • Filtre for math subjectCorrigés de BAC
  • Filtre for math subjectPrépa Examens
  • Filtre for math subjectRévisions Maths lycée
  • Filtre for math subject Tous les sujets
  • Filtre for math subjectMaths
      Seconde
    • Nombres et calculs
    • Géométrie
    • Fonctions
    • Stats et Probas
    • Première
    • Analyse
    • Géométrie
    • Probas et Stats
    • Terminale
    • Analyse (spé)
    • Géométrie (spé)
    • Probabilités (spé)
    • Arithmétique (exp)
    • Complexes (exp)
    • 2BAC SM Maroc
    • Analyse
    • Algèbre
    • MPSI/PCSI
    • Analyse
    • Algèbre
      • Arithmétique dans Z
      • Structures Algébriques
      • Calcul matriciel et systèmes
      • Espaces Vectoriels
      • Matrice 2ième Partie
    • Probabilités
  • Filtre for math subjectPhysique-Chimie
  • Filtre for math subjectCorrigés de BAC
  • Filtre for math subjectPrépa Examens
  • Filtre for math subjectRévisions Maths lycée

elements réguliers

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice théorique portant sur un groupe fini G. Il est demandé de démontrer qu'il existe un élément X dans G qui est différent de l'élément neutre E et égal à son inverse. Corentin commence par utiliser des sous-parties de G pour exploiter l'hypothèse que le cardinal de G est pair. Il pose l'ensemble f(X) qui est égal à l'ensemble des éléments X multiplié par leur inverse. Ensuite, il remarque que pour des éléments X et Y distincts, les ensembles f(X) et f(Y) sont soit distincts soit confondus. Plus précisément, soit f(X) est égal à f(Y) ou l'intersection de f(X) et de f(Y) est un ensemble vide. En effet, si Y est égal à X-1 (l'inverse de X), alors l'ensemble f(X) est égal à l'ensemble f(Y). Si Y est différent de X-1, alors l'intersection de f(X) et de f(Y) est un ensemble vide. De là, Corentin déduit que le groupe G peut s'écrire comme une réunion disjointe de tous les ensembles f(X) différents. En d'autres termes, G est égal à l'union de tous les ensembles f(X) pour X appartenant à G et différent de l'élément neutre. Corentin réalise que au moins l'un de ces ensembles f(X) est de cardinal 1, c'est-à-dire qu'il ne contient qu'un seul élément. Il s'agit de l'ensemble f(E). En effet, on a E-1 qui est égal à E, ce qui réduit l'ensemble f(E) à juste l'élément E. Si tous les autres ensembles étaient de cardinal 2, alors le groupe G aurait un cardinal impair, ce qui contredit l'hypothèse de départ selon laquelle le cardinal de G est pair. Il en conclut donc qu'il existe un élément X différent de l'élément neutre E tel que le cardinal de l'ensemble f(X) soit égal à 1, autrement dit, X est égal à son inverse.

Contenu lié