Sous-groupes

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice qui mélange l'algèbre générale et l'algèbre linéaire. Il commence par présenter le problème qui consiste à déterminer si certaines parties de GLN2R sont des sous-groupes de GLN2R, l'ensemble des matrices inversibles à coefficients réels. Pour la première question, on donne l'ensemble des matrices diagonales inversibles à coefficients non nuls. Corentin montre que cet ensemble, noté H1, est bien une partie de GLN2R. Il explique que pour chaque matrice diagonale, il suffit de prendre l'inverse en prenant l'inverse de chaque coefficient diagonal. Le produit de ces deux matrices donne la matrice identité. Il vérifie également que la matrice identité appartient à H1, démontrant ainsi la stabilité par rapport à l'élément neutre, au produit et à l'inverse. Pour la deuxième question, Corentin étudie l'ensemble H2 qui consiste en des matrices 2x2 telles que A est différent de zéro. Il montre que H2 est également une partie de GL2 de R en calculant son inverse grâce à un petit système linéaire. Il démontre également la stabilité par rapport à l'élément neutre, au produit et à l'inverse. Enfin, pour la troisième question, Corentin remarque que la matrice identité n'appartient pas à l'ensemble H1-I3, montrant ainsi que H1-I3 n'est pas un sous-groupe de GL2 de R. En résumé, Corentin aborde un exercice qui consiste à déterminer si certaines parties de GLN2R sont des sous-groupes de GLN2R. Il montre que l'ensemble H1, constitué de matrices diagonales inversibles à coefficients non nuls, est un sous-groupe de GLN2R, tandis que H2, constitué de matrices 2x2 avec A différent de zéro, est également un sous-groupe de GL2 de R. Cependant, il démontre que H1-I3 n'est pas un sous-groupe de GL2 de R, car la matrice identité n'appartient pas à cet ensemble.