Morphisme de groupe

Dans cette vidéo, Corentin aborde la question de savoir si un sous-groupe d'un groupe produit est nécessairement le produit de deux sous-groupes. Pour expliquer cela, il commence par rappeler ce qu'est un groupe produit. Un groupe produit est défini comme l'ensemble des couples (x1, x2) composés d'un élément x1 du groupe G1 et d'un élément x2 du groupe G2. La loi de composition sur ce groupe produit est définie comme x1y1 * x2y2 = (x1 * x2, y1 * y2), où * représente la loi interne dans chaque groupe. Ensuite, Corentin donne un contre-exemple pour montrer que ce n'est pas toujours le cas. Il prend les groupes G1 et G2 comme étant l'ensemble des entiers positifs (z+). Il montre ensuite que le sous-groupe des couples (x, x) dans le groupe produit n'est pas le produit de deux sous-groupes. Il précise que si cela était le cas, cela signifierait que ce sous-groupe serait le produit de z * z, qui est l'ensemble des couples (x, y) avec x appartenant à z et y appartenant à z. Cependant, le couple (1, 2) n'appartient pas à ce sous-groupe, ce qui montre que ce sous-groupe des couples (x, x) ne peut pas être écrit comme le produit de deux sous-groupes. En conclusion, la réponse à la question posée est non, et Corentin a présenté un contre-exemple pour le prouver.