Groupe Commutatif

Salut à tous, c'est Corentin. Aujourd'hui, nous allons voir comment déterminer si un ensemble répond aux critères d'un corps commutatif. Un corps est un ensemble muni de deux lois (addition et multiplication) qui satisfont certaines conditions. Nous allons utiliser la méthode 1, la plus longue, pour vérifier ces conditions. Premièrement, nous devons vérifier si l'addition est bien interne à notre ensemble. Nous faisons donc une addition entre deux éléments et nous vérifions si le résultat appartient à notre ensemble. Ensuite, nous devons vérifier si l'addition est associative et commutative. Ces propriétés sont nécessaires pour qu'un groupe commutatif soit formé. Nous cherchons ensuite l'élément neutre pour l'addition. Dans notre cas, l'élément neutre est 0. Nous cherchons également l'élément symétrique, c'est-à-dire l'opposé de chaque élément. Nous utilisons cette propriété pour vérifier si l'ensemble forme bien un groupe commutatif. Ensuite, nous passons à la multiplication. Nous vérifions si la multiplication est interne à l'ensemble et si elle est associative et commutative. Nous cherchons également l'élément neutre pour la multiplication, qui est 1 dans notre cas. Enfin, nous cherchons l'inverse pour la multiplication. Pour être certain que l'inverse appartient à notre ensemble, nous utilisons la technique du conjugué. Une fois toutes ces conditions vérifiées, nous pouvons affirmer que l'ensemble répond aux critères d'un corps commutatif. Cette méthode est assez longue, donc nous pouvons utiliser la méthode 2, plus rapide. Dans cette méthode, nous montrons simplement que l'ensemble est un sous-corps d'un ensemble plus grand et nous vérifions quelques conditions supplémentaires. En résumé, il est important de connaître la définition d'un corps et de penser à utiliser le conjugué pour vérifier si l'inverse appartient à l'ensemble. De plus, il est plus rapide de montrer qu'un ensemble est un sous-corps plutôt que de vérifier toutes les conditions une par une. Voilà, merci à tous et à bientôt !