Equation avec la trace

Dans cet exercice, nous examinons une matrice A de taille n x n dans Mn2R qui vérifie la trace de A x T2A égal à 0. Pour cela, nous utilisons la formule du produit de matrice qui donne les coefficients de la matrice A x B. En utilisant la formule de produit de matrice, nous pouvons calculer A x transposé de A en remplaçant Bkj par son équivalent avec la transposée de A. Ensuite, nous nous concentrons sur les coefficients diagonaux pour calculer la trace égale à zéro. La trace est la somme des coefficients diagonaux, donc nous sommes intéressés par la somme des Aik². En analysant cette somme, nous remarquons qu'elle correspond à la somme de tous les coefficients de la matrice A². Si cette somme est égale à zéro, cela signifie que tous les éléments de la matrice A doivent être nuls ou négatifs. Donc, la condition nécessaire et suffisante pour avoir la trace de A x T2A égal à 0 est que la matrice A soit nulle. En conclusion, la méthode utilisée dans cet exercice démontre que si la trace de A x T2A est nulle, la matrice A doit être nulle.