Matrices nilpotentes

Dans cet exercice, nous étudions les propriétés des matrices nilpotentes. Une matrice nilpotente est une matrice pour laquelle il existe une puissance à partir de laquelle toutes les puissances de la matrice sont nulles. Par exemple, si a² est différent de zéro, a³ est différent de zéro, mais a⁴ est égal à zéro, alors toutes les puissances de a à partir de a⁴ seront également nulles. Nous devons démontrer que si deux matrices nilpotentes, a et b, commutent, alors a + b est également nilpotente. Nous traduisons cela en termes mathématiques en disant qu'il existe un entier p tel que a^p = 0 et un entier q tel que b^q = 0. De plus, nous avons a * b = b * a, car les matrices commutent. Notre objectif est de montrer que pour tout entier m, il existe un entier n tel que (a * b)^m = 0 et (a + b)^n = 0. Pour prouver cela, nous utilisons les propriétés des matrices commutantes. Par exemple, si les matrices commutent, alors (a * b)^m = a^m * b^m. Étant donné que a^p = 0 et b^q = 0, nous pouvons dire que (a * b)^p * q = a^p * b^q = 0. Donc, nous avons montré que le produit de deux matrices commutantes est également nilpotent. De même, nous utilisons la formule du binôme pour montrer que (a + b)^n = a^n + n * (a^(n-1)) * b + ... + b^n. En choisissant n = p + q (la somme des indices de nilpotence), nous pouvons séparer les termes en a et b. Comme a^p = 0 et b^q = 0, tous les termes contenant des puissances plus élevées de a et b seront également nuls. Ainsi, nous avons prouvé que la somme de deux matrices commutantes est également nilpotente. En conclusion, en utilisant les propriétés des matrices commutantes et la formule du binôme, nous avons démontré que si a et b sont deux matrices nilpotentes qui commutent, alors a + b est également nilpotente. Cette démonstration nécessite de comprendre la commutativité et d'appliquer les propriétés des matrices nilpotentes et des puissances de matrices.