Noyau et image par la matrice

Dans cette transcription de la vidéo, le professeur explique des techniques et astuces pour résoudre des problèmes mathématiques liés aux matrices et aux applications linéaires. Il propose une méthode classique pour trouver le noyau d'un endomorphisme F2R3 à partir d'une matrice donnée. Cette méthode consiste à résoudre un système d'équations linéaires en prenant un vecteur XYZ et en le substituant dans le produit matriciel AX pour obtenir AX = 0. En résolvant ce système, on peut trouver un ou deux vecteurs du noyau. Ensuite, le professeur montre comment déterminer l'image de manière plus simple en utilisant des combinaisons linéaires. Il suffit d'écrire que l'image est le vecteur F2E1, F2E2, F2E3 et de simplifier cette expression en trouvant des relations linéaires entre les variables. Il explique également comment utiliser le théorème du rang pour déterminer rapidement le noyau et l'image. En trouvant le noyau en premier et en utilisant ce résultat pour déterminer l'image, on évite de résoudre un système. Le professeur donne un exemple concret où il trouve le noyau d'une matrice et l'image en utilisant les techniques qu'il a expliquées. Il montre comment réécrire le vecteur XYZ en fonction d'une seule variable, et comment utiliser cette relation pour trouver le noyau. Ensuite, il utilise le théorème du rang et un lemme pratique pour déterminer l'image en trouvant deux vecteurs indépendants parmi les trois. En conclusion, le professeur explique que travailler avec les dimensions lui permet d'éviter des calculs laborieux et simplifie la résolution des problèmes. Il encourage les étudiants à poser des questions en cas de besoin.