Techniques Rapides !

Dans cette vidéo, l'enseignant explique comment résoudre un exercice où il faut trouver le noyau et l'image d'une matrice sans utiliser les méthodes classiques. Il utilise une approche basée sur l'observation minutieuse de la matrice et la recherche de combinaisons linéaires intelligentes. D'abord, il observe que la matrice a un rang d'au moins 2 car il trouve deux vecteurs non parallèles. Il cherche à différencier les cas où le rang est 2 ou 3. S'il peut trouver une combinaison linéaire entre les trois vecteurs, cela signifierait qu'ils sont dépendants et donc le rang est 2. Pour cela, il se concentre sur un 0 dans la matrice et utilise cette information pour trouver une combinaison linéaire intelligente entre les vecteurs. En utilisant cette technique, il trouve une combinaison linéaire entre les deux premiers vecteurs qui est égale au troisième vecteur. Cela montre que le rang de la matrice est inférieur ou égal à 2. Étant donné que les deux premiers vecteurs sont indépendants, il peut conclure que l'image de la matrice est l'espace vectoriel engendré par ces deux vecteurs. Ensuite, il utilise le fait qu'il a trouvé une combinaison linéaire pour trouver le noyau de la matrice. En utilisant le théorème du rang, il sait que le noyau a une dimension de 1. Il trouve un vecteur dans le noyau en utilisant la combinaison linéaire précédente et conclut que le noyau de la matrice est l'espace vectoriel engendré par ce vecteur. En résumé, en observant minutieusement la matrice et en trouvant des combinaisons linéaires intelligentes, l'enseignant parvient à déterminer l'image et le noyau de la matrice sans utiliser les méthodes classiques. Cette approche demande de la pratique et une bonne compréhension du théorème du rang.