Forme linéaire

Dans ce cours, nous étudions les formes linéaires, qui sont des applications linéaires avec un espace d'arrivée égal au corps de base. Nous devons montrer que toute forme linéaire non nulle est surjective. En d'autres termes, il faut montrer que pour chaque élément dans l'espace de départ, il existe au moins un élément correspondant dans l'espace d'arrivée. Nous commençons par noter que l'image de la forme linéaire est incluse dans le corps de base. Puisque l'espace d'arrivée est petit, cela indique que le rang de la forme linéaire est inférieur ou égal à 1. Si le rang est égal à 0, cela signifie que la forme linéaire envoie tous les éléments sur 0, ce qui est l'application nulle, mais ce n'est pas le cas ici. Donc, le rang de la forme linéaire est égal à 1, ce qui nous permet de conclure que l'image de la forme linéaire est égale au corps de base, ce qui signifie que la fonction est surjective. Ensuite, nous déduisons que le noyau d'une forme linéaire non nulle est un sous-espace vectoriel de dimension n-1. Cela est dû au théorème du rang, qui stipule que la somme des dimensions du noyau et de l'image est égale à la dimension de l'espace de départ. Par conséquent, la dimension du noyau est égale à la dimension de l'image, soit n-1. Ensuite, nous nous intéressons à la réciproque. Nous prenons un sous-espace vectoriel H de dimension n-1 et vérifions s'il est possible de trouver une forme linéaire dont le noyau est H. Pour simplifier les choses, nous donnons une base à H, composée de n-1 vecteurs indépendants. En utilisant le théorème de la base incomplète, nous pouvons compléter H en ajoutant un élément U qui n'est pas dans H, de sorte que l'union de H et de U forme une base de l'espace de départ E. Ainsi, tout élément X de E peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de H, plus une combinaison linéaire de U. Ensuite, pour trouver une forme linéaire intéressante, nous définissons phi comme l'application qui prend un élément X de E et qui donne simplement sa coordonnée Xn sur le vecteur U. Cela signifie que tout élément de H sera envoyé sur 0. En résumé, pour un élément X appartenant à H, nous avons phi(X) = 0. Enfin, nous montrons que si d'autres formes linéaires ont H comme noyau, elles seront parallèles à celle décrite précédemment, c'est-à-dire qu'elles seront de la forme lambda fois cette forme linéaire. Pour le prouver, nous utilisons à nouveau la décomposition de l'espace E en combinaison linéaire des vecteurs de H et de U. En appliquant une autre forme linéaire phi à un grand X exprimé de cette manière, nous pouvons séparer les termes correspondants à H et à U. Puisque les éléments correspondants à H sont dans le noyau de phi, leur image sera toujours égale à 0. Ensuite, nous remarquons que phi(U) est égal à lambda fois phi(X), où lambda est une constante. Ainsi, nous concluons que toute autre forme linéaire avec H comme noyau sera de la forme lambda phi(X).