Isomorphisme

Dans cet exercice, nous démontrons l'équivalence entre le fait que Phi soit un isomorphisme et le fait que l'image de toute base de E par Phi soit une base de F. Nous commençons par montrer que si Phi est un isomorphisme, alors l'image de toute base de E par Phi est une base de F. Nous prenons une base E1 à Enne de E et vérifions si la famille Phi(E1) à Phi(Enne) est une base de F. Pour cela, nous effectuons un test de liberté en supposant que lambda1 à lambdan sont des constantes telles que la somme lambda1*Phi(E1) à lambdan*Phi(Enne) soit égale à 0. En utilisant la linéarité de Phi, nous déduisons que la somme lambda1*E1 à lambdan*Enne appartient au noyau de Phi. Cependant, le noyau de Phi étant réduit à 0, nous en concluons que les constantes lambda1 à lambdan doivent être nulles. Ainsi, la famille Phi(E1) à Phi(Enne) est libre et donc une base de F. Par conséquent, si Phi est un isomorphisme, alors l'image de toute base de E par Phi est une base de F. Ensuite, nous démontrons que si l'image de toute base de E par Phi est une base de F, alors Phi est un isomorphisme. Nous prenons une base E1 à Enne de E et vérifions si la famille Phi(E1) à Phi(Enne) est une base de F. Si c'est le cas, alors dim F est égale à n qui est égale à dim E. En outre, puisque im(Phi) est égal à F par définition de la base, nous concluons que Phi est surjective. Ainsi, si l'image de toute base de E par Phi est une base de F, alors Phi est un isomorphisme. En conclusion, nous avons démontré l'équivalence entre le fait que Phi soit un isomorphisme et le fait que l'image de toute base de E par Phi soit une base de F.