Dérivation Composition

Dans cette vidéo, l'enseignant corrige un exercice de dérivation sur des fonctions trigonométriques. Il traite deux questions indépendantes avec les fonctions f qui utilisent des fonctions trigonométriques, en particulier sin et cos. Pour la première question, l'enseignant se rend compte que la fonction f(x) est un quotient, donc il vérifie d'abord l'ensemble de dérivabilité en résolvant l'équation 1+cos(x)=0. Il trouve que cos(x)=-1, ce qui correspond à x=pi+2kpi (avec k appartenant à Z). La fonction est demandée à être étudiée sur l'intervalle ouvert 0pi, donc il n'y a pas de problème d'annulation du dénominateur dans cet intervalle. Appliquant la formule habituelle pour le quotient u/v, qui est u'v-uv'/v^2, il calcule la dérivée en utilisant les dérivées connues de sin et cos. Après avoir développé les termes, il obtient l'expression de la dérivée, f'(x)=(1+cos(x)-sin(x))/(1+cos(x))^2. Pour la deuxième question, il a un produit de deux fonctions trigonométriques, donc il applique la formule du produit (u'v+uv'). Il remarque que les dérivées de cos(2x-1) et sin(5x+3) sont des composées, donc il les calcule en utilisant la règle de dérivation pour les composées. Après avoir substitué les dérivées dans la formule du produit, il obtient f'(x)=-2sin(2x)sin(5x+3)+5cos(2x-1)cos(5x+3). Il remarque que cette expression ressemble à cos(A+B) ou sin(A+B), mais les coefficients -2 et 5 le limitent dans les simplifications possibles. Il conclut en suggérant de pratiquer plus d'exercices similaires pour s'assurer de comprendre les techniques de dérivation, et il recommande de consulter les flashcards pour vérifier les formules de dérivation.