Parité d'une fonction trigo

Dans cette leçon, nous étudions la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques. Pour la périodicité, il faut deviner la valeur, la confirmer et la démontrer. Pour la parité, on teste f(-x) et on regarde si cela donne f(x) ou -f(x). On peut alors en déduire si la fonction est paire ou impaire. Prenons l'exemple de la fonction f(x) = 7 sin(x/2). On sait que la fonction sin(x) est périodique avec une période de 2π. En multipliant ou divisant par un coefficient k, la période sera respectivement 2π/k ou 2πk. Dans notre exemple, k est égal à 2, donc la fonction sera périodique avec une période de 4π. Visuellement, la fonction sin(2x) aura une période plus courte, tandis que sin(0.5x) aura une période plus longue. Pour confirmer notre hypothèse de périodicité de 4π, nous pouvons faire f(x + 4π) et voir si le résultat est équivalent à f(x). Dans notre cas, cela donne sin(x + 4π/2), qui est équivalent à sin(x) car sin(x) est périodique. Nous avons donc démontré que f(x) est bien périodique avec une période de 4π. Ensuite, pour démontrer la parité de f(x), nous devons vérifier que son ensemble de définition est centré sur 0. Dans notre exemple, f(-x) est égal à 7 sin(-x/2), qui peut être simplifié en -f(x). Par conséquent, f(x) est une fonction impaire. Il est important de vérifier que l'ensemble de définition est centré sur 0 lors de la démonstration de la parité. Par exemple, si nous prenons la fonction g(x) définie sur R sans 1, avec g(x) = sin(x), cette fonction n'est pas impaire car son ensemble de définition n'est pas centré sur 0. En résumé, pour déterminer la périodicité, nous devons deviner et démontrer la valeur. Pour la parité, nous devons simplement tester et conclure si la fonction est paire ou impaire.