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Points d'Inflexion

Ce cours porte sur la convexité des fonctions et les points d'inflexion. La fonction étudiée est f2x et nous allons la dériver deux fois pour trouver ses variations. Nous commençons par calculer la première dérivée, f', qui est toujours positive car l'exponentielle dans la fonction est positive. Le signe important est celui de "-x plus 1". Ce terme est positif pour x allant de moins l'infini à 1 et négatif sinon. Nous en déduisons que la dérivée est positive pour x < 1 et négative pour x > 1. En utilisant ces informations, nous construisons le tableau de variations de la fonction f. Elle est croissante jusqu'à x = 1, puis décroissante. Son maximum est atteint à x = 1, avec une valeur de 7e-1. Nous calculons également les limites de la fonction aux infinis. Pour x tendant vers moins l'infini, la limite est moins l'infini, tandis que pour x tendant vers plus l'infini, la limite est 0. Nous avons ainsi un tableau de variations complet. Ensuite, nous calculons la seconde dérivée, f'' qui est également dérivable. Le résultat final est 7 fois x moins 2, fois e de moins x. Comme l'exponentielle est positive, le signe dépend de x moins 2. La dérivée est positive pour x > 2 et négative pour x < 2. Nous concluons que la dérivée seconde change de signe en x = 2, ce qui indique un point d'inflexion. Pour trouver les coordonnées de ce point d'inflexion, nous évaluons f(2) qui est égal à 14 moins 2, soit 12. Visuellement, sur le graphique de la fonction, on peut observer que la pente diminue avant le point d'inflexion, puis commence à augmenter après. La courbe de la dérivée seconde confirme cette observation. Les points d'inflexion sont couramment utilisés en physique, notamment dans le titrage pour repérer un changement d'augmentation ou de diminution de la pente de la courbe. Cela conclut notre étude sur la convexité et les points d'inflexion. N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez d'autres questions.

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