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Courbe et Tangentes

Dans ce cours, nous étudions la fonction logarithme et cherchons à trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse 1. Pour cela, nous utilisons la dérivée de la fonction logarithme, qui est égale à 1/x. En évaluant cette dérivée au point d'abscisse 1, nous obtenons une tangente d'équation y = x - 1. Ensuite, nous nous intéressons à la position relative de la courbe par rapport à sa tangente. Nous pouvons étudier cette position en examinant la convexité de la fonction. En calculant la dérivée seconde de la fonction logarithme, qui est égale à 1/x², nous constatons que la fonction est concave. La courbe se trouve donc en dessous de toutes ses tangentes, y compris celle au point d'abscisse 1. Nous pouvons également utiliser une méthode alternative en effectuant une étude de fonction classique. Pour cela, nous créons une fonction auxiliaire, g(x) = ln(x) - x + 1, et étudions le signe de cette fonction en examinant ses variations. En dérivant g(x), nous trouvons que cette dérivée est positive pour x compris entre 0 et 1, et négative pour x supérieur à 1. Ainsi, nous obtenons le tableau de variation de g(x), qui montre que g(x) est inférieur à 0 pour tout x, ce qui signifie que la différence entre la courbe et la tangente est toujours négative ou nulle. En conclusion, nous avons déterminé que la tangente au point d'abscisse 1 de la fonction logarithme a pour équation y = x - 1, et que la courbe de la fonction logarithme est en dessous de cette tangente. Cette méthode permet de reconnaître facilement cette tangente et de l'utiliser dans des calculs ultérieurs. Il est également recommandé de penser à la concavité pour déterminer la position relative de la courbe par rapport à sa tangente.

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