TVI et expo

L'équation étudiée est E-x² E2x-1. Graphiquement, on peut observer que la courbe en cloche de E2-x² est au-dessus de la fonction exponentielle décalée E2x-1. Pour les valeurs négatives, la fonction en cloche est toujours supérieure à l'autre. Pour les valeurs positives, il y a un changement de comportement où la fonction en cloche est d'abord au-dessus puis elle s'intersecte. Il faut donc étudier séparément les deux cas. Premièrement, pour les réels négatifs, on peut montrer que E2-x² est strictement supérieure à E2x-1. En effet, en utilisant le fait que l'exponentielle est strictement croissante, on peut constater que E2x est plus petit que E0 (qui vaut 1), donc E2x-1 est négatif strict. Ainsi, E2-x² est strictement supérieure à E2x-1 et il n'y a pas de solution à l'équation pour les réels négatifs. Deuxièmement, pour les réels positifs, on montre que f2x = 0 est strictement décroissante sur R+. On peut analyser la décroissance de f2x de deux manières : en examinant E2-x² sur R+ (équivalent à E2x) et en ajoutant ou retirant E2x qui est aussi décroissante. En utilisant ces propriétés, on peut montrer que f2x est négatif strict sur R+. La limite de f en plus l'infini est en gros x² vers moins l'infini, donc moins x² vers plus l'infini. Donc f tend vers 0 (car l'exponentielle tend vers plus l'infini et le moins donne un résultat inverse). En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, on peut alors trouver une unique solution de l'équation sur R+. En conclusion, il n'y a pas de solution sur R- et une unique solution sur R+. Cette conclusion correspond à l'intuition graphique donnée au début du cours.