Prolongements par continuité de fonctions cosinus et sinus

Dans cette vidéo, Paul étudie le prolongement par continuité de fonctions contenant des sinus et des cosinus. Il commence par examiner si la fonction f2x = sinx*sin(1/x) est prolongeable par continuité à R entier. En appliquant une inégalité et en montrant que la limite en 0 est bornée, il conclut que la fonction est bien prolongeable par continuité. En revanche, lorsqu'il examine la fonction g = cos(x)*cos(1/x), il constate que cette fonction ne peut être prolongeable par continuité car cos(1/x) tend vers 1 en 0, ce qui ne permet pas d'écraser les oscillations. Paul utilise la méthode de considération de deux suites qui tendent vers 0 mais dont les limites diffèrent, pour prouver que la limite de g en 0 n'existe pas. Enfin, Paul étudie la fonction h = sin(x+1)*ln(1+x) qui présente une forme indéterminée en -1. En appliquant une astuce pour ramener la limite en 0, il montre que la fonction est prolongeable par continuité. Ainsi, il conclut que h est bien prolongeable par continuité sur R.