Diamètre d'un ensemble

Dans cet exercice, on veut montrer que le sup de l'ensemble des valeurs absolues de x-y avec x et y qui parcourent A tout entier, c'est égal à sup de A-imp. Pour cela, on utilise la définition de la borne sup avec des petits epsilon. On démontre d'abord que sup de A-imp de A est un majorant de l'ensemble recherché, puis que c'est le plus petit des majorants en utilisant le fait que M et m sont les bornes sup et inf de A. En posant epsilon supérieur à 0 et en utilisant les bornes sup et inf, on montre que sup de l'ensemble B, les valeurs absolues de y-x, est égal à sup de A moins inf de A.