Points d’inflexion

Dans cet exercice, nous allons étudier une fonction pour déterminer ses points d'inflexion. Une fonction admet un point d'inflexion en x0 si et seulement si la dérivée seconde f'' change de signe en x0. Nous allons donc calculer la dérivée seconde de la fonction. On obtient ainsi : f'' = -cos(3x) * cos(x) - cos(2x). Pour étudier le signe de cette expression, il est préférable de factoriser. En utilisant une formule trigonométrique (cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)), on peut factoriser f'' en -cos(2x) * (2cos(2x) + 1). Maintenant que f'' est factorisée, on peut étudier le signe de chaque facteur. Pour que -cos(2x) soit positif, cos(2x) doit être négatif, c'est-à-dire quand x est entre pi/4 et 3pi/4. Pour que 2cos(2x) + 1 soit positif, cos(2x) doit être supérieur ou égal à -1/2, c'est-à-dire quand x est entre 0 et 2pi/3 ou entre 7pi/3 et 2pi. En résumé, les points d'inflexion de la fonction sont de la forme pi/4 + kpi/2 en abscisse et f(pi/4 + kpi/2) en ordonnée, avec k appartenant à Z, ainsi que 2pi/3 + 2kpi et -2pi/3 + 2kpi en abscisse et f(2pi/3 + 2kpi) et f(-2pi/3 + 2kpi) en ordonnée, avec k appartenant à Z.