indépendance impossible

Dans cet exercice, on cherche à prouver que deux événements A et B ne peuvent pas être indépendants. On suppose qu'on a un espace probabilisé avec un univers Ω et un modèle d'équiprobabilité où chaque événement a la même probabilité. On note N le cardinal de A et M le cardinal de B. La probabilité de A est N/P et la probabilité de B est M/P. On suppose qu'ils sont indépendants, ce qui signifie que la probabilité de leur intersection est égale au produit des probabilités. En remplaçant dans cette équation, on obtient que le cardinal de l'intersection A ∩ B est égal à MN/P. Comme le cardinal est un nombre entier, cela signifie que MN/P est un nombre entier. Puisque P est un nombre premier, on applique le théorème de Gauss, qui dit que si un nombre premier divise le produit de deux entiers, alors il divise au moins l'un des deux entiers. Supposons que P divise N. Comme N est inférieur ou égal à P, soit N est 0, ce qui signifie que A est l'ensemble vide, soit N est P, ce qui signifie que A est égal à Ω, l'univers. Donc, si A et B sont indépendants, les seules possibilités sont que A soit l'ensemble vide ou Ω. En conclusion, si A et B ne sont ni l'ensemble vide ni Ω, ils ne peuvent pas être indépendants.