Relectures indépendantes

Dans cet exercice de probabilités, nous nous intéressons à la correction d'un livre contenant quatre erreurs. Chaque erreur est corrigée lors d'une série de relectures, et chaque correction a une probabilité de réussite de 1/3. Les relectures et les corrections sont toutes indépendantes les unes des autres. La première question est de déterminer la probabilité que l'erreur numéro 1 ne soit pas corrigée après la énième relecture. Nous pouvons noter AI l'événement selon lequel l'erreur 1 est corrigée lors de la ième lecture. Nous avons déjà calculé que P(A1) = 1/3 (probabilité que l'erreur 1 soit corrigée à la première lecture) et P(A1') = 2/3 (probabilité que l'erreur 1 ne soit pas corrigée à la première lecture). Comme les AI sont indépendants les uns des autres, les AI' le sont aussi. Ainsi, la probabilité que l'erreur 1 ne soit pas corrigée après la énième relecture est donnée par (2/3)^n. La deuxième question concerne la probabilité que le livre soit entièrement corrigé après la énième relecture. Pour cela, nous devons trouver la probabilité des intersections des complémentaires des erreurs (BJ'). Comme les BJ sont indépendants, les BJ' le sont également. La probabilité de l'intersection des BJ' est donc donnée par (1 - 2/3)^4 = (1/3)^4. Enfin, la dernière question consiste à déterminer combien de relectures sont nécessaires pour que la probabilité que le livre soit entièrement corrigé soit supérieure à 0,9. Pour cela, nous devons résoudre l'inéquation (1/3)^n > 0,9. En utilisant des calculs logarithmiques, nous trouvons que n doit être supérieur à log(1 - 0,9)^1/4 / log(2/3), ce qui est approximativement égal à 10. Donc, pour n supérieur ou égal à 10, nous avons une probabilité supérieure à 0,9 que le livre soit entièrement corrigé.