Jeu équitable

Dans cet exercice, nous étudions l'indépendance dans un jeu entre deux joueurs A et B. Chaque joueur joue plusieurs parties l'un après l'autre et le premier à gagner toutes les parties remporte le jeu. Les probabilités de victoire pour A et B sont notées respectivement a et b, avec a et b compris entre 0 et 1. La première question porte sur la probabilité que ni A ni B ne gagnent, c'est-à-dire qu'aucun des deux joueurs ne remporte les 2N parties. Pour cela, on utilise la probabilité de l'intersection des complémentaires, c'est-à-dire la probabilité que A perde chaque partie et que B perde également chaque partie. Comme les parties sont indépendantes, la probabilité de l'intersection des complémentaires est le produit des probabilités de perte pour chaque partie. Cela donne la formule 1-A^N * 1-B^N. Ensuite, nous cherchons la probabilité que A gagne ou que B gagne. Pour calculer la probabilité que A gagne, on additionne les probabilités de victoire pour chaque partie individuelle. La probabilité qu'une partie soit gagnée par A est a*(1-A)^(K-1)*(1-B)^(K-1), avec K allant de 0 à N-1. En factorisant cette somme, on obtient la formule A * (1-A)^N * (1-B)^N / (A + B - AB). De même, on peut calculer la probabilité que B gagne en utilisant la formule 1 - probabilité du match nul - probabilité que A gagne. Ceela donne la formule B - AB * (1-A)^N * (1-B)^N / (A + B - AB). Finalement, pour que le jeu soit équilibré, c'est-à-dire que les chances de victoire pour A et B soient égales, il faut que la probabilité que A gagne soit égale à la probabilité que B gagne. Cela se traduit par l'équation A = B - AB.