Cours de Dénombrement en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Dénombrement

Déterminer des ensembles

Dans ce cours sur le dénombrement, nous allons traiter des ensembles et des listes. La différence entre un ensemble et une liste est importante. Un ensemble est un sac qui contient des objets, sans ordre spécifique. Par contre, une liste est ordonnée. Pour représenter les ensembles, on utilise des accolades, tandis que les listes sont représentées entre parenthèses. Dans les exercices, il faudra toujours se demander si l'ordre compte (liste) ou non (ensemble). Dans les ensembles, lorsque l'ordre ne compte pas, on utilise des méthodes de combinatoire. Dans l'exemple donné, les ensembles E et F contiennent respectivement les éléments H, E, I et D, I, E, R. Pour l'union de ces ensembles (E U F), on prend tous les éléments sans répétition, et on obtient H, E, I, D et R. Pour l'intersection de ces ensembles (E ∩ F), on cherche les éléments communs, et on obtient seulement E. Le produit cartésien (E × F) est l'ensemble de toutes les paires d'éléments des deux ensembles, où l'ordre compte. Dans cet exemple, les paires possibles sont H D, H I, H E, H R, etc. Une paire est un ensemble de deux éléments. On peut former les paires possibles à partir d'un ensemble contenant trois éléments, ce qui donne les paires H E, H I et E I. Il est important de faire la distinction entre un ensemble et une liste pour compter les possibilités. N'hésitez pas à poser des questions si besoin.

Utiliser un diagramme

Les diagrammes sont un outil utile pour la compréhension visuelle des informations. Dans cet exemple, nous avons une station de sport d'hiver avec 20 touristes. Parmi eux, 14 pratiquent le ski de piste, 7 le ski de fond, et 4 pratiquent les deux activités. En utilisant un diagramme, nous plaçons les 20 touristes dans une bulle bleue. Dans cette bulle, 10 personnes pratiquent uniquement le ski de piste, 4 pratiquent à la fois le ski de piste et le ski de fond, et 3 pratiquent uniquement le ski de fond. En ajoutant ces chiffres (10 + 4 + 3), nous obtenons bien les 7 personnes qui pratiquent le ski de fond au total. Pour déterminer combien de touristes ne pratiquent aucune des activités, nous comptons simplement le nombre de personnes qui pratiquent une activité (10 + 4 + 3), puis soustrayons ce total du nombre total de touristes (20 - 17). Ainsi, nous découvrons qu'il y a 3 touristes qui ne pratiquent aucune des activités. Dans des exemples plus complexes, le principe reste le même : placer des bulles représentant différentes catégories et compter pour obtenir des chiffres précis. Les diagrammes sont donc un outil très utile pour comprendre et analyser des données.

Dénombrer des ensembles simples

Ce cours présente des exemples de dénombrement. Dans le premier exemple, on doit déterminer le nombre de résultats possibles pour lancer une pièce 7 fois de suite. En se posant les questions « est-ce que c'est une liste ou un ensemble? » et « est-ce que l'ordre compte? », on conclut que l'ordre compte et qu'on peut répéter les résultats. Ainsi, le nombre de tirages possibles est de 2 puissance 7.Dans le deuxième exemple, on doit déterminer le nombre de distributions possibles pour deux joueurs de domino recevant 7 dominos chacun parmi les 28 dominos du jeu. En considérant que l'ordre compte, le nombre de listes possibles est de 28 x 27 x 26 ... x 15 x 14. Une autre façon d'exprimer cela est 28! sur 14!.Dans le dernier exemple, on dispose de 4 gâteaux et 4 invités, et il faut attribuer un gâteau à chaque invité. Avec l'ordre compte et sans répétition, le nombre de façons de procéder est de 4!.Pour dénombrer, il faut se poser les questions « est-ce que j'ai l'ordre compte ou ne compte pas? » et « est-ce que je peux avoir répétition? ».

Tirage successif sans remise

Dans ce cours, nous abordons le concept de tirage successif sans remise. L'énoncé nous donne un exemple concret : nous avons 5 élèves qui se tiennent en rang et nous voulons savoir combien il y a de façons de les ranger. Pour résoudre ce problème, nous devons d'abord nous poser quelques questions. Est-ce une liste ou un ensemble ? Y a-t-il des répétitions possibles ? Dans ce cas, il s'agit d'une liste car l'ordre compte. Par exemple, l'ordre "1, 2, 3, 4, 5" est différent de "5, 4, 3". De plus, il n'y a pas de répétition possible car nous ne pouvons pas avoir deux fois le même élève à la même position. Maintenant que nous avons clarifié ces points, la résolution devient assez simple. Pour la première position, nous avons 5 choix possibles. Pour la deuxième position, une fois que nous avons placé quelqu'un, nous n'avons plus que 4 choix. Et ainsi de suite, jusqu'à la dernière position où nous n'avons plus qu'un seul choix. Nous multiplions donc ces choix successifs : 5 x 4 x 3 x 2 x 1, ce qui est égal à 5!. Cette formule générale s'applique également lorsque nous avons P tirages successifs sans remise dans un ensemble à N éléments. Nous pouvons l'exprimer comme suit : N! sur N-P!. En résumé, pour résoudre le problème des tirages successifs sans remise, nous utilisons la formule N! sur N-P!.

Principe multiplicatif et arbre pondéré

Apprendre à faire un arbre pondéré peut être pratique, mais cela peut prendre du temps. Si vous avez trop de sous-branches, il peut ne plus être nécessaire de faire un arbre pondéré. Au début, il est préférable de faire un brouillon de l'arbre pour clarifier les idées. Par exemple, si une cantine scolaire offre 4 entrées, 3 plats, et le choix entre fromage ou yaourt, et dessert ou fruit, il serait possible de faire un arbre pondéré. Cependant, cela peut devenir assez volumineux. Pour compter, le principe multiplicatif s'applique en faisant une multiplication de chaque possibilité. Pour le moment, il n'est pas nécessaire de se préoccuper des pondérations, mais cela sera abordé dans le chapitre suivant avec les probabilités.

Cours par cas pratiques !

Dans ce cours, nous apprenons à déterminer le nombre d'anagrammes pour différents mots. Un anagramme est une combinaison de lettres d'un mot, où l'ordre des lettres importe. Par exemple, pour le mot ABC, les anagrammes possibles sont BAC, CBA, CAB, etc. Pour calculer le nombre d'anagrammes, nous utilisons la notion de permutations. Le nombre d'anagrammes d'un mot est égal au nombre de façons de ranger les lettres du mot. Par exemple, pour le mot ABC, il y a 3! (3 factorielle) possibilités, car il y a 3 lettres et 3 cases pour les ranger. Cependant, lorsque certaines lettres sont répétées, nous devons prendre en compte les permutations de ces lettres. Par exemple, pour le mot AXA, il y a 3! possibilités au départ, mais nous divisons le résultat par 2, car les deux A peuvent être permutés de deux manières différentes. De manière plus générale, pour un mot comme CHIEN, nous calculons d'abord le nombre d'anagrammes sans tenir compte des lettres répétées (5! dans ce cas), puis nous divisons le résultat par le produit des factorielles des nombres de permutations possibles pour chaque lettre répétée. Par exemple, pour le mot ABRACADABRA, il y a 11! possibilités au départ, mais nous devons diviser le résultat par 5! (pour les A), 2! (pour les B) et 2! (pour les R), car ces lettres sont répétées. Cette méthode permet de calculer efficacement le nombre d'anagrammes pour différents mots en prenant en compte les lettres répétées.