Cours de Dérivation en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Dérivation

Équation Tangente

Dans ce cours, nous abordons la méthode de détermination des équations de tangentes, qui est une étape importante dans l'étude des fonctions. Il est essentiel de maîtriser cette méthode car elle est souvent utilisée dans les exercices où l'on doit étudier les tangentes et la position relative de la courbe par rapport à la tangente. Dans le premier exercice, nous devons étudier une fonction f, qui est égale à x^2 + 3x + 1. On nous demande de calculer f'(2) et f(2). Nous trouvons que f(2) = 11 et f'(2) = 7. En utilisant la formule y = f'(A) * (x - A) + f(A), où A est égal à 2, nous obtenons l'équation de la tangente, qui est y = 7x + 3. Ensuite, nous approfondissons la formule utilisée pour déterminer l'équation de la tangente. Nous démontrons que cette formule est simplement une équation de droite, y = mx + p, où m est le coefficient directeur et p est l'ordonnée à l'origine. En utilisant la connaissance de la tangente au point A, nous pouvons déduire que m = f'(A). Ensuite, en utilisant les coordonnées du point A, nous pouvons trouver p = f(A) - Af'(A). En regroupant ces résultats, nous obtenons l'équation de la tangente. Dans le deuxième exercice, nous devons étudier une nouvelle fonction g, qui est égale à e^x. On nous demande de trouver l'équation de la tangente à la courbe de g au point tapis 0. En calculant g'(0) = 1 et g(0) = 1, nous trouvons que l'équation de la tangente est y = x + 1. Il est important de bien maîtriser cette méthode car elle est fréquemment utilisée lors de l'étude des fonctions.

Formules Classiques

La dérivation est un rappel important en mathématiques. Il est essentiel de connaître parfaitement les formules de dérivation pour éviter des erreurs qui peuvent avoir un impact négatif sur les résultats d'un contrôle ou d'un examen. Il est donc crucial de s'assurer de la maîtrise de ces formules. Quelques exemples sont donnés pour illustrer l'utilisation des formules de dérivation. La dérivée de la fonction f(x) = 5x³ est 15x². Pour la fonction g(x) = (x^n)√(x), la dérivée est (n+1)x^(n-1) + (2/n)√(x). Pour la fonction h(x) = 1/v, la dérivée est -v'(x)/v², où v'(x) est la dérivée de v(x). Ensuite, l'utilisation des formules de dérivation est expliquée pour les cas du produit (u v) et du quotient (u/v). Pour le produit, la dérivée est u'v + uv'. Pour le quotient, la dérivée est (u'v - uv')/v². Des conseils méthodologiques sont donnés pour simplifier les calculs lors de la dérivation. Par exemple, le regroupement des termes de même degré est recommandé pour éviter des erreurs. Il est également utile d'utiliser des codes de couleur ou tout autre système de repérage pour faciliter la lecture et éviter d'oublier des termes importants. En conclusion, il est crucial de maîtriser les formules de dérivation et de les réviser régulièrement pour éviter des erreurs dans les calculs. Des méthodes méthodologiques, telles que le regroupement des termes de même degré, peuvent être utilisées pour éviter des oublis et des erreurs dans les calculs.

Polynômes 2nd Degré

Dans ce cours, on s'intéresse à l'étude d'un polynôme de degré 2. On cherche à aller plus vite que lors d'une étude classique de fonction. On commence par justifier l'ensemble de dérivabilité du polynôme, puis on calcule sa dérivée en utilisant les formules usuelles. On factorise si possible pour faciliter l'étude du signe de la dérivée. Ensuite, on déduit le tableau de variation en déterminant quand la dérivée change de signe. On calcule ensuite l'image au niveau de l'extremum qui est atteint en -b/2a. On sait déjà comment se comporte un polynôme de degré 2 grâce à la forme générale ax²+bx+c. Si a est positif, la courbe est en forme de "u" avec un minimum, et si a est négatif, la courbe est en forme de "n" avec un maximum. On peut utiliser ces informations pour aller plus vite dans l'étude du polynôme. On peut également utiliser les résultats classiques sur les polynômes de degré 2 pour trouver les coordonnées de l'extremum, l'ordonnée de l'extremum (-delta/4a), et les racines (-b+racine(delta)/2a et -b-racine(delta)/2a). Il est également important de remarquer que le minimum est au centre du polynôme et que les racines sont situées à égale distance du centre. Cette astuce permet de rapidement retrouver les résultats et de déduire le sens de variation et le signe de la fonction.

Étude f : Niveau MPSI mais outils de première !

Ce cours porte sur l'étude d'une famille de fonctions, notées f1, f2, etc., définies par f(x) = E(2x) / (x^n), où n est un entier naturel non nul. Le cours commence par déterminer le plus grand ensemble de définition de f, en excluant les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur est nul. Ensuite, il est expliqué que f est dérivable sur tout son ensemble de définition, à l'exception de la valeur 0. Ensuite, le cours se concentre sur le cas où n est pair. On utilise la règle du produit et le comportement des puissances paires pour déterminer les variations de f, et on dresse le tableau de variation de f. Ensuite, les limites de f sont calculées en l'infini et en 0, et complétées dans le tableau de variation. Si n est impair, le comportement de f est différent. Les variations de f sont étudiées en utilisant le même raisonnement, et les limites en l'infini et en 0 sont calculées et ajoutées au tableau de variation. Le cours souligne également que l'étude de cas est essentielle dans l'exercice, en notant que les calculs seraient beaucoup plus difficiles sans la distinction entre n pair et n impair.

Composition : Déf

Dans cette vidéo, l'auteur explique ce qu'est la composition de deux fonctions en utilisant des exemples concrets. Il commence par décomposer une fonction en plusieurs étapes, en partant de x. Il explique que chaque étape consiste en une transformation de la fonction précédente. Par exemple, pour la fonction racine de x² plus 7, il passe successivement de x à x², puis de x² à x² plus 7, et enfin à la racine de x² plus 7. Il explique que cela revient à composer la variable x par trois fonctions simples. Ensuite, l'auteur donne une définition théorique de la composition de fonctions. Il explique que si on a deux fonctions U et V, où U est définie sur un intervalle i et à valeur dans un intervalle j, et V est définie sur j et à valeur dans un intervalle k, alors la composition de U et V, notée VU, est définie comme V de U de x. Autrement dit, on applique d'abord U à x, puis V au résultat obtenu. L'auteur mentionne également quelques propriétés de la composition de fonctions. Il explique que la composition de fonctions est associative, c'est-à-dire que (UV)W est égal à U(VW). Cependant, il précise que la composition de fonctions n'est pas commutative, c'est-à-dire que VU est généralement différent de UV. Pour illustrer cela, il donne l'exemple de deux fonctions U et V, où U est la fonction x² moins 7 et V est la fonction exponentielle. Il montre que VU et UV donnent des résultats différents, en prenant la valeur en 0 comme exemple. L'auteur conclut en rappelant l'importance de se rappeler que la composition de fonctions n'est pas commutative. Il encourage les spectateurs à poser des questions s'ils en ont, et les invite à se retrouver sur le forum pour discuter.

Dériver une composée

Dans cette vidéo, nous apprenons comment dériver une fonction composée. Nous commençons par expliquer ce qu'est la composition et les contraintes liées aux ensembles d'arrivée et de départ des fonctions composées. Ensuite, nous abordons les exemples les plus simples pour mieux comprendre le sujet. Par exemple, nous étudions la dérivée de 1/x et constatons que 1/u' ne correspond pas à la bonne formule, mais plutôt à -u'/u^2. Nous poursuivons avec d'autres exemples tels que la dérivée de racine de x et montrons que la bonne formule est (u'/2√u). Nous rappelons également les formules de dérivées de base, en insistant sur le fait qu'il faut toujours multiplier par u' lorsqu'il s'agit d'une fonction composée. Ensuite, nous donnons une définition formelle de la dérivée d'une fonction composée en utilisant les dérivées des fonctions u et v et en n'oubliant pas de multiplier par u'. Nous soulignons également qu'une conséquence intéressante est que si u et v ont la même monotonie, alors la fonction composée v∘u est croissante, tandis que si elles ont des monotonies contraires, la fonction composée est décroissante. Enfin, nous illustrons ces concepts avec des exemples concrets et montrons comment la monotonie des fonctions u et v affecte la monotonie de la fonction composée.