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Combinaison et intersection

Maintenant, nous allons voir comment les combinaisons fonctionnent avec les intersections. Le problème est similaire à une méthode que nous avons déjà utilisée avec les diagrammes et les intersections. Imaginons que nous prenions au hasard 20 élèves dans une classe, parmi lesquels 14 aiment les mathématiques, 7 aiment la physique et 4 aiment les deux matières. Commençons par représenter cela avec un petit diagramme. Sur les 20 élèves, 10 aiment les mathématiques, 4 aiment à la fois les mathématiques et la physique, et 3 n'aiment que la physique. En déduisant cela grâce aux 4 élèves qui se situent au milieu, nous avons 3 élèves qui n'aiment ni les mathématiques ni la physique. Maintenant, nous allons prendre au hasard des sous-groupes d'élèves parmi ces différentes catégories et nous devons déterminer combien de groupes comportent exactement 4 élèves qui aiment les mathématiques. Il s'agit d'un problème de combinaison, car l'ordre n'a pas d'importance et il n'y a pas de répétition. Donc, pour former des sous-groupes de 4 élèves, nous devons en choisir 4 parmi les 14 qui aiment les mathématiques. Combien de sous-ensembles peut-on construire parmi ces 14 élèves ? Cela équivaut à "14 parmi 4", ce que l'on peut noter mathématiquement par "14! divisé par 4! fois 10!". Si nous avons une calculatrice, cela se résout facilement. Cependant, si nous devons effectuer le calcul sans calculatrice, il est important de simplifier autant que possible. Les deux facteurs de 4! vont se simplifier et disparaître, ce qui laisse seulement "14 x 13 x 12 x 11". Les autres chiffres se simplifient également en "4 x 3 x 2". Ainsi, le résultat est de 1001. Passons maintenant à la deuxième question. Combien y a-t-il de sous-groupes de 4 élèves comportant 2 élèves qui n'aiment que les mathématiques et 2 élèves qui n'aiment que la physique ? À l'intérieur de ce sous-groupe de 4 élèves, nous avons deux sous-groupes de 2 élèves. Le premier sous-groupe comprend uniquement des élèves qui aiment la physique, tandis que le deuxième sous-groupe comprend uniquement des élèves qui aiment les mathématiques. Il y a donc 10 élèves qui aiment seulement les mathématiques et 3 élèves qui aiment seulement la physique. Nous devons en choisir 2 parmi les 10 élèves qui aiment les mathématiques et 2 parmi les 3 élèves qui aiment seulement la physique. Cela revient à "2 parmi 10" multiplié par "2 parmi 3". Le calcul peut être simplifié, par exemple, "2 parmi 10" peut être résolu par "10 x 9 divisé par 2", ce qui donne 45. "2 parmi 3" est simplement 3. Donc, au total, cela nous donne 135 possibilités. Voilà comment nous pouvons utiliser les combinaisons et les intersections ensemble.
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Classique : jetons colorés

Ce cours explique différentes méthodes de dénombrement en utilisant des jetons de couleurs. Le premier exercice consiste à tirer simultanément 4 jetons parmi 20, sans répétition. Le résultat est calculé en utilisant le nombre de combinaisons possibles (4845). Ensuite, l'exercice demande le nombre de tirages avec quatre numéros identiques. Il faut donc identifier les numéros qui ont au moins quatre occurrences, qui sont 0, 2 et 7. Le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque numéro, et les résultats sont additionnés (67). Le troisième exercice concerne les tirages avec uniquement des jetons blancs. Il y a 12 jetons blancs au total, et le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour choisir 4 jetons parmi 12 (495). Ensuite, il est demandé le nombre de tirages avec des jetons de la même couleur. Les couleurs possibles sont blanc et rouge, et le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque couleur, qui sont ensuite additionnées (565). Le cinquième exercice demande de former le nombre 2020 avec les jetons. Comme l'ordre ne compte pas, il faut choisir deux jetons avec le numéro 2 et deux jetons avec le numéro 0. Le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque numéro, qui sont ensuite multipliées entre elles (268). Enfin, le dernier exercice demande le nombre de tirages comportant au moins un jeton avec un numéro différent des autres. Pour simplifier le calcul, on considère l'événement contraire, c'est-à-dire avoir que des jetons identiques. Ce nombre de tirages est déjà calculé précédemment (76). En soustrayant ce nombre du nombre total de tirages possibles, on obtient le résultat final (4739). En conclusion, les combinaisons et le dénombrement ont été utilisés pour résoudre ces exercices de manière générale.
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Entiers dont la somme des chiffres vaut 3

Le cours est une explication détaillée de la résolution d'un exercice mathématique. Il s'agit de déterminer le nombre de nombres entiers inférieurs à une puissance de 10 qui ont une somme de chiffres égale à 3. Le cours commence par des exemples avec des puissances de 10 de plus en plus grandes pour illustrer la démarche. Ensuite, l'enseignant propose
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Utiliser un arbre pondéré

Dans cette vidéo, nous étudions les probabilités d'événements en utilisant un arbre pondéré. Nous avons des informations sur les habitudes de Naomi pour se rendre au lycée : si le temps est beau, elle prend le vélo 8 fois sur 10, et si le temps est moche, elle prend le vélo 5 fois sur 10. De plus, il y a 75% de journées ensoleillées dans sa ville. Nous voulons déterminer la probabilité de l'événement "ensoleillé et prendre le vélo" (E inter V) et la probabilité de prendre le vélo (V). Nous commençons par construire un arbre pondéré avec les deux possibilités pour le temps (ensoleillé ou non) et les deux possibilités pour le moyen de transport (vélo ou autre). En utilisant les informations données, nous déterminons les probabilités associées à chaque nœud de l'arbre. Ensuite, nous calculons la probabilité de l'événement "ensoleillé et prendre le vélo" en utilisant la formule P de E inter V = P de E x P de V sachant E. Nous trouvons que la probabilité est de 0,6, soit 60%. Enfin, nous calculons la probabilité de prendre le vélo en utilisant la formule des probabilités totales en considérant les chemins de l'arbre où Naomi prend le vélo. Nous obtenons une probabilité de 72,5%. C'est une méthode classique pour calculer les probabilités à l'aide d'un arbre pondéré.
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Représenter un schéma de Bernoulli

Dans ce cours, nous étudions le schéma de Bernoulli, qui représente une expérience répétée ayant deux résultats possibles : réussite ou échec. Dans cet exemple, Gloria remarque que lorsqu'un client entre dans sa librairie, il y a une probabilité de 67% qu'il achète un livre. Nous devons déterminer s'il s'agit d'un schéma de Bernoulli. Pour justifier cela, nous devons vérifier si les clients sont indépendants les uns des autres et si leur choix d'achat ne dépend pas des clients précédents. Dans notre cas, les clients sont indépendants et leur choix n'est pas influencé par les autres. Donc, il s'agit bien d'un schéma de Bernoulli avec un nombre d'expériences (clients) n égal à 4 et une probabilité de succès (achat de livre) p égale à 0,67. Ensuite, nous devons construire un arbre pour représenter tous les chemins possibles. Chaque nœud de l'arbre représente soit un succès (achat de livre) soit un échec (pas d'achat), avec une probabilité de succès de 67% et une probabilité d'échec de 33% à chaque nœud. Comme nous répétons l'expérience quatre fois, nous avons beaucoup de chemins possibles, mais grâce à l'arbre, nous pouvons les représenter tous. Nous nous intéressons ensuite au cas où il y a exactement deux succès (deux achats). Nous pouvons utiliser une méthode manuelle pour compter tous les chemins qui correspondent à cette condition en utilisant l'arbre. Dans ce cas, il y a six chemins possibles correspondant à deux succès. En calculant la probabilité de chaque chemin (0,67² x 0,33²) et en les multipliant par le nombre de chemins (6), nous obtenons une probabilité de 29% pour avoir exactement deux personnes qui achètent des livres. Cette méthode peut être généralisée avec la formule de la loi binomiale, ce qui nous donnerait une approche plus systématique pour calculer les probabilités. Cependant, dans cet exemple, l'arbre nous permet également d'obtenir le résultat souhaité.
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Schéma de Bernoulli

La vidéo traite de la reconnaissance et de l'utilisation de la loi binomiale en statistiques. Pour cela, il faut identifier un chemin de Bernoulli, qui consiste en la répétition indépendante d'une même expérience avec deux issues possibles : échec ou réussite. Ensuite, on attribue une variable aléatoire x qui compte le nombre de succès, et cette variable suit une loi binomiale de paramètres n (nombre de répétitions) et p (probabilité de succès). La formule utilisée pour calculer la probabilité que x soit égal à k est k parmi n multiplié par p élevé à la puissance k, multiplié par 1 moins p élevé à la puissance n moins k. Dans l'exemple donné, il s'agit de tirages successifs et indépendants pour lesquels le succès est de tirer une boule noire parmi 3 boules noires sur un total de 8 boules (soit une probabilité de 3/8). Ainsi, la variable x qui compte le nombre de boules noires obtenues suit une loi binomiale de paramètres n égal à 5 et p égal à 3/8. En effectuant les calculs, on obtient une probabilité de 20% que x soit égal à 3. Pour plus d'informations, consultez la FAQ.
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Calcul brut de probabilités

Dans ce cours, nous abordons les premiers calculs avec la loi binomiale. La loi binomiale est caractérisée par les paramètres n=50 et p=0.23. Nous devons calculer trois probabilités. La première consiste à trouver la probabilité que p soit strictement inférieur à 12, ce qui est équivalent à la probabilité que x soit inférieur ou égal à 11. Cette donnée peut être obtenue sur toutes les calculatrices graphiques du lycée et nous trouvons une probabilité de 0.512. Ensuite, pour la probabilité que x soit supérieur ou égal à 4, nous pouvons considérer l'événement contraire, c'est-à-dire l'événement où x est inférieur ou égal à 3. En utilisant la fonction de calculatrice, nous trouvons une probabilité de 0.999. Enfin, la probabilité que x soit compris entre 5 et 8 peut être trouvée en faisant la différence entre la probabilité que x soit inférieur ou égal à 8 et la probabilité que x soit inférieur ou égal à 5. En utilisant la calculatrice, nous trouvons une probabilité de 0.14. Il est important de savoir utiliser la bonne fonction sur la calculatrice, ce qui peut être facilement trouvé en demandant à des camarades, en consultant la FAQ correspondant à votre modèle de calculatrice ou en recherchant sur Google.
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Espérance et écart-type : graphique

Dans ce cours, nous apprenons comment utiliser les diagrammes en barre pour représenter les lois binomiales. Dans le premier exemple, nous avons une loi binomiale avec une probabilité de succès de 0,4, mais nous ne connaissons pas la valeur de N. Nous devons estimer la valeur de l'espérance, qui est généralement centrée autour de la moyenne de 10. En utilisant cette estimation, nous pouvons déduire que N est égal à 25. Ensuite, nous comparons cette première loi binomiale à une deuxième. Nous remarquons que la deuxième est plus centrée et a une plus petite étendue. L'écart-type est une mesure de dispersion et est plus faible lorsque la courbe est plus resserrée. Les valeurs importantes à retenir sont l'espérance (NxP), la variance (NPx-P) et l'écart-type (racine carrée de la variance). Enfin, dans un exercice supplémentaire, nous cherchons à trouver la valeur de P qui donne le plus grand écart-type. En utilisant une fonction de degré 2, nous trouvons que l'écart-type est maximum lorsque la probabilité vaut 1,5. Cela s'explique par le fait qu'une probabilité de 1,5 indique une incertitude égale entre les réussites et les échecs, ce qui peut entraîner des résultats très différents. En résumé, les diagrammes en barre nous permettent d'analyser et de comprendre les lois binomiales en termes d'espérance, de variance et d'écart-type.
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Binomiale et tirage avec remise

Dans ce cours, on apprend à reconnaître et utiliser la loi binomiale. La première étape consiste à repérer un schéma de Bernoulli, qui est une expérience répétée plusieurs fois de manière indépendante avec deux résultats possibles, succès ou échec. Ensuite, on attribue une variable aléatoire x qui représente le nombre de succès. Cette variable suit une loi binomiale avec les paramètres n (nombre de répétitions) et p (probabilité de succès). On utilise la formule qui permet de calculer la probabilité que x soit égal à k. Dans l'exemple donné, on tire successivement et indépendamment des boules d'un ensemble de 8 boules, dont 3 sont noires. On peut donc dire que c'est un schéma de Bernoulli, avec p égal à 3/8. En attribuant à x le nombre de boules noires obtenues, on peut dire que x suit une loi binomiale avec n égal à 5 et p égal à 3/8. En utilisant la formule, on calcule que la probabilité que x soit égal à 3 est de 20%. Si vous avez d'autres questions, consultez la FAQ.
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Classique : produit défectueux en usine

Ce cours porte sur les produits défectueux en usine et les tests effectués sur ces produits. L'usine effectue deux tests indépendants pour déterminer si un produit est défectueux. La probabilité qu'un produit défectueux passe le premier test est de 0.12 et de 0.08 pour le deuxième test. Si le produit passe les deux tests, il est vendu, sinon il est détruit. La première question est de savoir quelle est la probabilité qu'un produit défectueux soit mis en vente. Pour répondre à cette question, on utilise les notations suivantes : V pour la vente, T1 pour le premier test et T2 pour le deuxième test. Pour qu'un produit soit mis en vente, il doit passer les deux tests. Donc la probabilité de vente est égale à la probabilité que le produit passe T1 inter T2. Comme les tests sont indépendants, la probabilité est alors égale au produit de P(T1) et P(T2), soit 0.12 * 0.08. Le calcul donne une probabilité de mise en vente de moins de 1%, soit 0.96%. Ensuite, on nous demande quelle est la probabilité qu'au moins 3 produits défectueux soient mis en vente parmi 100 produits indépendants. On remarque que cela correspond à une situation de répétition d'expériences identiques et indépendantes avec deux résultats possibles : vente (réussite) et destruction (échec). On compte le nombre de ventes avec la variable aléatoire X. Pour répondre à cette question, on utilise une loi binomiale de paramètres 100 (nombre de produits indépendants) et 0.0096 (probabilité de vente). On cherche P(X ≥ 3), qui est équivalent à 1 - P(X < 3). On calcule donc P(X = 0), P(X = 1) et P(X = 2), et on les soustrait de 1. Les calculs donnent une probabilité de 38% d'avoir aucun produit défectueux en vente, 36% d'avoir un produit en vente défectueux et 18% d'avoir deux produits en vente défectueux. Finalement, la probabilité d'avoir trois ou plus produits défectueux en vente est de 7%. Les formules utilisées sont celles de la loi binomiale : P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k). La formule générale est appliquée pour chacun des cas calculés.
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Déterminer le + grand entier

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice sur les variables aléatoires suivant des lois binomiales. Plus précisément, il cherche à déterminer le plus grand entier cas (k) tel que la probabilité que X soit supérieur ou égal à k est supérieur ou égal à 0,9. Pour résoudre cet exercice, il commence par analyser les phénomènes en jeu. Il remarque que lorsque k augmente, la probabilité que X soit supérieur ou égal à k diminue, car l'ensemble X supérieur ou égal à k devient de plus en plus petit. Ainsi, son objectif est de trouver le cas où la probabilité que X soit supérieur ou égal à k+1 est strictement inférieure à 0,9, tandis que la probabilité que X soit supérieur ou égal à k est supérieur ou égal à 0,9. En utilisant sa calculatrice, il calcule la probabilité que X soit supérieur ou égal à 22, 21 et 20. Il remarque que la probabilité est égale à 0,80 pour k=22, 0,89 pour k=21 et 0,95 pour k=20. Il constate que pour k=21, la probabilité est strictement inférieure à 0,9, alors que pour k=20, elle est strictement supérieure à 0,9. Il en conclut donc que le plus grand entier k tel que la probabilité que X soit supérieur ou égal à k est supérieur ou égal à 0,9 est 20.
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Déterminer le + petit entier

Dans cette vidéo, Corentin explique la troisième méthode pour déterminer le plus petit entier k tel que la probabilité que X soit inférieur ou égal à k soit supérieure ou égale à 0,5 pour une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale. La méthodologie utilisée est similaire à la méthode 2, mais cette fois-ci on raisonne à l'inverse. En augmentant k, la probabilité que X soit inférieur ou égal à k augmente également. Corentin utilise une calculatrice pour calculer les probabilités progressivement décroissantes jusqu'à atteindre la probabilité souhaitée. Dans cet exemple, il commence à 40 et diminue jusqu'à atteindre une probabilité de 0,93 pour X inférieur ou égal à 36. Il en conclut donc que k est égal à 37, car à ce stade, la probabilité est strictement supérieure à 0,95.