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Propriétés 3 : inégalités

Dans cette courte vidéo, nous abordons les propriétés de l'intégrale liées aux inégalités. Si pour tout x entre a et b, la fonction f(x) est toujours supérieure à la fonction g(x), alors leurs intégrales seront classées dans le même ordre. En d'autres termes, l'intégrale de f sera plus grande que l'intégrale de g. Cette propriété peut être illustrée graphiquement, où l'aire sous la courbe de f est beaucoup plus grande que l'aire sous la courbe de g. Un cas particulier intéressant est lorsque g est la fonction nulle et f est toujours supérieure à zéro. Dans ce cas, l'intégrale de f est toujours positive. Dans le cas où f(x) est inférieure à une fonction constante m sur l'intervalle (a, b), on peut dire que m est une borne supérieure de f. Ainsi, l'intégrale de f entre a et b sera plus petite que l'intégrale de m entre a et b. Cette intégrale de m correspond à l'aire d'un rectangle, qui est égale à m multiplié par la longueur de l'intervalle (b-a). De manière similaire, si f(x) est supérieure à une certaine constante M sur l'intervalle (a, b), on peut dire que M est une borne inférieure de f. Dans ce cas, l'intégrale de f sera plus grande que l'aire du rectangle situé en dessous, qui est égale à M multiplié par la longueur de l'intervalle (b-a). Il est important de connaître ces propriétés. N'hésitez pas à poser vos questions dans la FAQ si vous avez des doutes. À bientôt dans la prochaine vidéo.
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Théorème fondamental : Démo

Dans cette vidéo, on démontre le théorème fondamental de l'analyse. On considère une fonction continue f sur l'intervalle [a,b] et on définit une autre fonction F comme l'intégrale de f entre a et x. On montre que F est dérivable et que sa dérivée est égale à f. On utilise la propriété de Schall pour montrer que l'erreur entre F(x+h)-F(x) et l'intégrale de f entre x et x+h est négligeable comparée à la hauteur de f(x+h). On utilise ensuite le théorème d'encadrement pour montrer que la limite du taux d'accroissement (F(x+h)-F(x))/h est égale à f(x). On conclut ainsi que F est dérivable avec pour dérivée f. En conséquence, toute fonction continue sur un intervalle a une primitive sur cet intervalle.
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Calcul d'Intégrale avec Primitive

Dans ce cours sur le calcul intégral, la première méthode est expliquée. L'objectif principal de ce chapitre est de trouver une primitive pour résoudre les intégrales. Cela peut être plus difficile que de dériver. Ainsi, la méthode consiste à trouver une primitive pour résoudre l'intégrale donnée, puis à appliquer le théorème fondamental. Dans l'exemple présenté, l'intégrale à calculer est l'intégrale de 0 à pi de x² moins cos2x. Pour résoudre cette intégrale, il suffit de trouver la primitive de chacun des termes (x² et cos2x) séparément. La primitive de x² est x³ et la primitive de cos2x est ½ sin2x. On peut vérifier que ces primitives conviennent en dérivant et en retrouvant les termes initiaux. En appliquant le théorème fondamental, il suffit ensuite de substituer les valeurs de la fonction primitive à la borne supérieure (pi) et à la borne inférieure (0) de l'intervalle d'intégration. Il est important de faire attention aux signes lors de cette étape afin d'éviter des erreurs courantes. Il est recommandé d'écrire les signes moins entre parenthèses avant de développer les calculs pour éviter des confusions. Dans cet exemple, le sinus de pi est 0, donc cela n'affecte pas le signe final du résultat. Après simplification, le résultat de l'intégrale est pi au cube sur 3. Ainsi, ce cours présente une méthode pour calculer une intégrale en trouvant une primitive et en appliquant le théorème fondamental. Le résultat obtenu pour l'intégrale donnée est pi au cube sur 3.
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Fonction définie par une Intégrale

Ce cours explique comment étudier les variations d'une fonction définie par une intégrale. Habituellement, on calcule la dérivée pour déterminer le signe de la dérivée et la monotonie de la fonction. Cependant, dans le cas d'une intégrale, la dérivée est facile à calculer. On étudie donc le signe de la dérivée pour déduire les variations de la fonction et construire un tableau de variations. Dans cet exemple, on nous demande d'étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0, pi] définie par f(x) = ∫₀ˣ sin³(t)dt. Il est important de faire attention, car le résultat dépend des bornes de l'intégrale. Par exemple, si nous prenons l'intégrale de -x à 0 de h(t), où h est une fonction quelconque et H est une primitive de h, nous devons corriger les bornes et obtenons -∫₀ˣ h(t)dt = H(0) - H(x). Lorsque nous dérivons cette fonction, nous obtenons -H'(x), et comme H est une primitive, cela correspond à -h(x). Ainsi, le signe dépend des bornes et peut être différent de ce que nous attendons. Ensuite, nous cherchons la dérivée de f en posant G(x) = sin³(x). Appliquant le théorème fondamental du calcul, nous obtenons f(x) = G(x) - G(0), et la dérivée de f est G'(x) = sin³(x). Ainsi, nous retrouvons bien la fonction à l'intérieur de l'intégrale. Il est important de noter que les variables x et t ont des significations différentes. t est la variable d'intégration et n'a de sens que dans l'intégrale, tandis que x est une variable globale et a une signification à l'extérieur de l'intégrale. Par conséquent, nous ne pouvons pas avoir la même variable à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de l'intégrale. Une fois que nous avons la dérivée, il est facile de déterminer les variations de la fonction. Dans cet exemple, étant donné que sin³(x) a le même signe que sin(x) sur l'intervalle [0, pi], nous savons que la fonction est croissante puis décroissante. Nous pourrions également calculer les valeurs en 0, pi et pi, mais cela n'est pas nécessaire pour déterminer les variations. En conclusion, il est assez simple de calculer les variations d'une fonction définie comme une intégrale en utilisant la dérivée de cette intégrale. Si vous avez des questions supplémentaires, vous pouvez les poser dans la FAQ.
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Linéarité d'une Intégrale

Dans cette vidéo, nous utilisons la linéarité de l'intégrale pour simplifier le calcul des primitives en séparant les termes. Nous étudions une fonction f(x) = x^x et devons montrer que la fonction F proposée est une primitive de cette fonction. En dérivant F, nous constatons que nous obtenons bien f(x), ce qui confirme qu'il s'agit d'une primitive. Ensuite, nous devons calculer l'intégrale de 0 à 1 de 3t - 2 e^x^x. Cependant, il y a une erreur dans l'énoncé où "t" est utilisé à la place de "x". Nous rectifions cette erreur et simplifions l'intégrale en utilisant la méthode de l'intégration par parties (IPP). Nous posons U(x) = 3x - 2 et V'(x) = e^x^x. Nous calculons ensuite les dérivées et primitives de ces termes. En appliquant l'IPP, nous obtenons une expression simplifiée pour l'intégrale où il ne reste plus qu'à calculer l'intégrale de e^2x. Finalement, nous effectuons les calculs nécessaires et trouvons que l'intégrale équivaut à 2e^5. En résumé, nous utilisons la linéarité de l'intégrale et la méthode de l'IPP pour calculer la primitive d'une fonction et résoudre une intégrale spécifique. Il est important de garder en tête que lorsque nous avons un polynôme multiplié par une exponentielle, l'IPP est souvent une bonne méthode à employer.
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Encadrer une Intégrale

Dans ce cours, nous abordons la méthode des encadrements d'intégrales pour trouver des limites. Nous commençons par étudier une fonction f(x) égale à E(-x^2). Nous cherchons à encadrer cette fonction pour tout x supérieur à 1. Étant donné que l'exponentielle est toujours positive, nous pouvons dire que E(-x^2) est positive pour tout x supérieur à 1. Ensuite, nous voulons montrer que cette fonction est inférieure à E(-x). Pour cela, nous utilisons des étapes de raisonnement. Comme x est supérieur à 1, nous multiplions par x (qui est positif) des deux côtés de l'inégalité. Ensuite, nous multiplions par -1 pour changer le signe de x^2, ce qui donne -x^2. Nous composons ensuite cette expression avec l'exponentielle, qui est une fonction strictement croissante et qui ne change pas le signe des inégalités. Ainsi, nous obtenons l'inégalité recherchée. En utilisant la propriété de monotonie de l'intégrale, nous déduisons un encadrement de l'intégrale de f(x) de 1 à 2. Pour tout x appartenant à l'intervalle [1, 2], nous avons que 0 est inférieur à f(x) qui est inférieur à E(-x). Nous calculons ensuite l'intégrale de ces deux fonctions : l'intégrale de 0 est évidemment 0, et l'intégrale de E(-x) est facilement primitivable et donne E(-1) - E(-2). Ainsi, nous avons encadré notre intégrale entre 0 et E(-1) - E(-2). C'est ainsi que nous pouvons encadrer une intégrale en utilisant la propriété de monotonie de l'intégrale.
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Relation de Chasles

Dans cette leçon, nous apprenons comment utiliser la relation de Schall pour calculer une intégrale. La relation de Schall est simple à utiliser. Nous considérons une fonction f qui a différentes expressions selon l'intervalle. Elle vaut 1 entre (-1,2), elle vaut -t+3 entre 2 et 3, et elle vaut t-3 entre 3 et 4. On nous demande de calculer l'intégrale de (-1,4). Nous utilisons donc la relation de Schall et disons que l'intégrale de (-1,4) est égale à l'intégrale de (-1,2), plus l'intégrale de 2 à 3, plus l'intégrale de 3 à 4. Nous utilisons les expressions de la fonction dans chaque cas, ce qui est assez simple car ce sont des fonctions usuelles et faciles à primitiver. L'antidérivée de 1 est t, l'antidérivée de -t+3 est -t²/2+3t, et l'antidérivée de t-3 est t²/2-3t. Nous effectuons les calculs et obtenons 3-4-4, ce qui donne 5 au total. Nous pouvons donc jouer avec les vecteurs et couper l'intégrale en plusieurs morceaux. L'important est de faire attention à ce que les chiffres correspondent, afin que tout se rejoigne correctement. L'application de la relation de Schall est assez simple, tant que nous faisons attention à ces détails. Nous pouvons choisir librement le point de départ et le point d'arrivée de l'intégrale tant que nous respectons ces conditions. C'est une méthode qui peut être appliquée facilement si nous faisons attention à ces points.
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Introduction

Dans ce cours, nous allons utiliser les intégrales pour calculer des primitives plus complexes à l'aide de la méthode d'intégration par partie. Nous pourrons calculer des aires entre des courbes en utilisant le lien entre les intégrales et les primitives. Nous étudierons également la définition de la valeur moyenne d'une fonction et verrons quelques méthodes associées. En résumé, nous aborderons le calcul d'aires sous une courbe, entre deux courbes, la valeur moyenne d'une fonction et l'intégration par partie. Nous nous concentrerons particulièrement sur des exercices plus difficiles pour explorer les limites de ces méthodes. N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez des questions ou des doutes. À bientôt pour la prochaine vidéo.
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Intégration par Parties

Bienvenue dans cette vidéo sur l'intégration par parties. Je vais vous expliquer en détail cette méthode car elle est très importante dans le chapitre et revient souvent dans les exercices. Dans un premier temps, je vais vous montrer d'où vient cette formule et vous la démontrer. Puis je vous montrerai comment l'appliquer concrètement. Le théorème de l'intégration par parties est formulé comme c
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Aire entre 2 courbes

Dans cette vidéo, on explique comment calculer l'aire entre deux courbes, en utilisant le théorème suivant : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle i, telles que f(x) soit toujours plus petite que g(x). Alors, l'aire exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre les points x=a et x=b, ainsi que les courbes f et g, est égale à l'intégrale de g(x) - f(x) entre a et b. L'illustration montre deux fonctions, f en rouge et g en bleu. En utilisant le théorème, on peut calculer l'aire entre les courbes lorsque f est au-dessus de g. Par exemple, pour l'intervalle entre 0 et 2, l'aire serait équivalente à l'intégrale de f(x) - g(x). Après le point de croisement, il faut faire attention car les comportements des fonctions changent. Dans ce cas, l'aire entre les courbes serait égale à l'intégrale de g(x) - f(x) entre ce point et 5. L'objectif de cette vidéo était de donner une illustration visuelle de cette propriété. Si vous avez des questions, vous pouvez vous référer à la FAQ.
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Valeur Moyenne

La valeur moyenne d'une fonction f est définie comme étant le nombre µ égale à 1 sur b-a fois l'intégrale entre a et b de f, où a et b sont les bornes de l'intervalle. Pour comprendre cette notion, on peut faire un parallèle avec la moyenne arithmétique. L'intégrale entre a et b est en réalité une somme infinie de rectangles infiniment fins. Puis, on divise cette somme par le nombre total de rectangles, ce qui correspond à la taille totale du groupe. On peut également visualiser la valeur moyenne de manière géométrique. On peut considérer µ comme une valeur constante telle que l'aire sous la courbe de la fonction constante est égale à µ fois la largeur du rectangle égale à l'aire sous la courbe de f. Pour illustrer cela, on peut tracer un graphe où la valeur moyenne correspond à l'endroit où l'aire du rectangle est égale à l'aire sous la courbe de f. Si le rectangle est trop bas ou trop haut, les aires ne seront pas égales. Il y a donc un moment où le rectangle parfait est trouvé, et c'est à ce moment que la valeur moyenne est obtenue. La compréhension de la valeur moyenne sera approfondie dans les exercices et les vidéos de méthodes à venir. Si vous avez des questions théoriques, vous pouvez les poser dans la FAQ. À la prochaine vidéo !
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Intégration par Parties : Calcul

L'intégration par partie est une méthode utilisée en calcul pour résoudre des intégrales. Cette méthode est basée sur l'utilisation de la formule suivante : l'intégrale de U'V est égale à UV moins l'intégrale de UV'. Pour bien comprendre cette formule, il est important de se rappeler d'où elle vient. Elle est dérivée du produit de dérivées, c'est-à-dire U'V plus UV'. En calculant l'intégrale de cette somme, on obtient la formule d'IPP. Pour utiliser cette méthode, il faut choisir judicieusement les fonctions U et V. Il y a trois critères à prendre en compte : il faut avoir un produit dans l'intégrale, au moins l'un des deux facteurs doit avoir une primitive facilement calculable, et la dérivée de l'autre fonction doit faciliter le calcul. L'objectif de l'intégration par partie est d'échanger une intégrale complexe contre une autre plus simple. Pour illustrer cette méthode, prenons l'exemple d'une intégrale à calculer : l'intégrale de X ln(X) entre 1 et E. Dans ce cas, on a le produit X ln(X) et les fonctions U = X et V' = ln(X). En calculant les primitives, on trouve que la primitive de U est X²/2 et la primitive de V est X ln(X) - X. Ainsi, on peut appliquer l'intégration par partie en remplaçant l'intégrale initiale par X²/2 ln(X) entre 1 et E moins l'intégrale de X²/2 (1/X) entre 1 et E. En simplifiant les termes, on obtient X/2 et il est plus facile de calculer cette intégrale. Finalement, on trouve que l'intégrale initiale est égale à E² + 1/4. Il est important de noter que l'intégration par partie peut parfois être appliquée dans les deux sens, mais il est préférable de choisir la méthode qui facilite le calcul. Il est également conseillé de noter les fonctions U', U, V et V' sur une feuille de brouillon afin de ne pas se tromper lors des étapes de calcul. Cet exemple illustre comment appliquer l'intégration par partie pour résoudre une intégrale. N'hésitez pas à poser des questions supplémentaires dans la FAQ.