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Résoudre des INéquations

Ce cours porte sur les inéquations exponentielles. Il est important de comprendre que si la fonction est strictement croissante et que E2a est plus grand strict que E2b, alors A est plus grand strict que B. Ensuite, il est possible d'identifier des termes similaires de part et d'autre de l'inéquation et de résoudre l'inéquation. Il faut également se rappeler que la fonction E est toujours positive. Les inéquations exponentielles peuvent être résolues de la même manière que les équations, en identifiant des termes similaires.
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Dériver des fonctions exp

Ce cours traite de la méthode pour calculer la dérivée d'une fonction exponentielle. La formule clé est E de u de x fois u prime de x, où u est dérivable. Si u est dérivable, cette formule est toujours vraie. Ensuite, il s'agit de pratiquer en faisant des exercices pour maîtriser la méthode. Pour les inégalités, il faut utiliser la méthode vue précédemment. Enfin, la méthode de dérivation est assez simple et nécessite juste de la pratique. La vidéo présente quelques exemples pour s'entraîner.
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Famille d'exp et leurs tangentes

Ce cours porte sur l'étude de fonctions exponentielles avec un paramètre. Nous avons une famille de fonctions fk de la forme e^(kx) - kx. Nous devons déterminer l'expression de la dérivée de fk, ce qui est assez simple puisque la dérivée de e^(kx) est k * e^(kx) - kx. Ensuite, nous devons trouver l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0, ce qui est facile car fk'(0) = 0. L'équation de la tangente est donc y = 1. Enfin, nous devons déterminer pour quelle valeur de k la courbe fk admet une autre tangente horizontale. Nous trouvons que cela se produit lorsque k = 0 et lorsque e^(kx) = 1, c'est-à-dire lorsque x = 0. Cependant, cela correspond simplement à une fonction constante égale à 1, donc ce n'est pas très intéressant. En résumé, ce cours consiste à étudier une famille de fonctions exponentielles avec un paramètre et à déterminer les propriétés de ces fonctions, notamment leurs dérivées et les tangentes à leurs courbes.
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Fraction d'exponentielles

Ce cours aborde une méthode astucieuse pour simplifier les expressions contenant des fractions. L'idée est de faire apparaître au numérateur le dénominateur de la fraction, afin de faciliter les calculs. Pour ce faire, il est important de respecter les règles de l'arithmétique. Par exemple, en réécrivant E2x/x+3, on peut transformer cette fraction en -3/(E2x+3). Cette méthode permet de simplifier les calculs de dérivées, en concentrant les variables x au numérateur. L'expression f(x) = -6e2x/(2x+3) est ainsi dérivable et croissante. De plus, on peut démontrer que 0 < f(2x) < 2 pour tout réel x. Cette démonstration repose sur les propriétés de la fraction et permet de vérifier l'expression de base de f plus facilement.
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Suite géométrique et exp

Ce cours traite des suites géométriques et de la façon de calculer leur somme. Les exercices tournent autour de la recherche de la raison de la suite et l'utilisation de la formule pour la somme d'une suite géométrique. Pour résoudre les problèmes, il faut trouver la raison de la suite et la remplacer dans la formule pour la somme. Dans le cas des exemples mentionnés, la raison était respectivement E2 et E de 0,5. En appliquant la formule pour la somme d'une suite géométrique, on peut alors trouver la solution pour la somme de ces suites. Il est important de faire attention à bien repérer où commence la suite et ne pas se tromper pour éviter toute confusion.
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Etude complète de base avec exp

Ce cours porte sur l'étude d'une fonction exponentielle et un peu d'X. La question 1 est importante car elle révèle une fonction impaire, ce qui implique une symétrie centrale. Une astuce consiste à simplifier l'expression pour une meilleure compréhension. La méthode la plus rapide consiste à étudier la variation de la fonction en trouvant sa dérivée. On peut étudier la position relative de la fonction par rapport à une droite donnée en comparant leur différence. Enfin, on peut étudier la fonction pour des valeurs négatives et positives en approchant zéro ou l'infini.
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Cos et Sin hyperboliques !

Dans ce cours, nous étudions les fonctions cosinus et sinus hyperboliques, qui sont des fonctions courantes en physique et en maths pures de première année. Nous démontrons que cosinus hyperbolique (cosh) est pair et nous étudions ses variations sur l'intervalle 0 plus infini. Nous faisons de même pour le sinus hyperbolique (sinh). Nous étudions également quelques relations intéressantes entre les fonctions, telles que cosh plus sinh et cos² moins sin². Enfin, nous démontrons que deux fois le sinus hyperbolique de 2X est égal à la multiplication de cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique de X.
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Dérivabilité en 0 (1er exemple)

Dans cet exercice de mathématiques, on étudie la dérivabilité d'une fonction définie en deux parties. Tout d'abord, pour les valeurs différentes de 0, cette fonction est égale à l'expression e^(1/x) où x est non nul et positive. Ensuite, on ajoute la valeur f(0) = 0 à cette fonction pour l'étendre sur l'ensemble des réels. Pour étudier sa dérivabilité, on utilise deux méthodes. La première méthode est la méthode classique qui consiste à étudier un taux d'accroissement de la fonction en 0. On obtient ainsi que la fonction n'est pas dérivable en 0 car le taux d'accroissement admet une limite infinie. La seconde méthode utilise le graphique de la fonction pour montrer qu'elle n'est pas continue. Par conséquent, elle n'est pas dérivable. Deux méthodes simples pour étudier la dérivabilité d'une fonction mathématique en utilisant des concepts telles que les taux d'accroissement et la continuité de la fonction.
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Dérivabilité en 0 (2ème exemple)

Dans cet exercice, on doit étudier la dérivabilité d'une fonction comprenant de l'exponentiel pour une valeur donnée en 0. La méthode consiste à calculer le taux d'accroissement en ce point et vérifier s'il admet une limite finie. On factorise ensuite le taux d'accroissement pour faire apparaître le ratio e2x-1 sur x, qui a une limite de 1 lorsque x tend vers 0. Cette limite est la définition de la dérivabilité de la fonction exponentielle en 0. En utilisant cela, on peut simplifier l'exercice et conclure que la fonction n'est pas dérivable en 0 car son taux d'accroissement tend vers plus ou moins l'infini en ce point.
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Dériver 2 fois pour conclure !

Nous étudions une fonction complexe et examinons la méthode d'étude de fonction. Nous commençons par vérifier si la fonction est paire ou impaire, puis si elle est trivialement croissante ou décroissante. Ensuite, nous examinons la dérivée et étudions le signe de l'expression pour en déduire le signe de la fonction. Si nous ne pouvons pas simplifier l'expression de la dérivée, nous pouvons étudier la fonction elle-même pour en déduire son signe. Nous pouvons redériver la fonction pour avoir sa dérivée seconde et trouver les points de minimums ou maximums en cherchant ses racines. En utilisant cette méthode, nous pouvons résoudre des fonctions complexes et obtenir de meilleurs résultats aux contrôles.
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Encadrement de e par des suites

Cette transcription d'une vidéo explique comment trouver un encadrement de la constante E de l'Eve à partir d'un exercice en combinant l'exponentiel et la suite. Les deux premières questions portent sur le comportement de l'exponentiel par rapport à X, tandis que les questions suivantes impliquent des applications d'entiers et l'étude de suites. À la question 5, on doit montrer une inégalité avec de l'exponentiel et du X en utilisant une fonction. Enfin, à la question 6, on doit trouver un encadrement de E avec une amplitude de 10^-6 en utilisant les résultats des questions précédentes. Pour cela, on utilise une valeur de N telle que l'écart entre deux valeurs encadrant E est inférieur à 10^-6. Il est important de suivre la méthode étape par étape et de ne pas paniquer.
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Primitive et réécriture

Ce cours concerne l'analyse d'une fonction définie par f2x = x + log(4) + 2/(e2x + 1). L'objectif est de trouver une expression de primitive facile à détecter. Tout d'abord, on étudie les limites de la fonction. La limite lorsque x tend vers plus l'infini est x, car le reste de l'expression tend vers 0. La limite lorsque x tend vers moins l'infini est 2, car e2x tend vers 0 puisque x tend vers moins l'infini. Ensuite, on examine le sens de variation de la fonction. Comme f est dérivable sur R et que la dérivée est toujours positive, cela signifie que la fonction est croissante. Enfin, on trouve les primitives de la fonction. La primitive de x est x²/2. La primitive de 2 + log(4) est (2 + log(4))x. En utilisant une intégration par substitution, on obtient la primitive de -2e2x/(e2x+1) comme étant -log(e2x+1). Donc, l'ensemble des primitives possibles est x²/2 + (2 + log(4))x - log(e2x+1) + K, où K est une constante réelle. En résumé, on cherche une primitive de la fonction f2x = x + log(4) + 2/(e2x + 1). On étudie les limites, le sens de variation et les primitives de la fonction, et on obtient l'ensemble des primitives possibles.