Cours d'apprentissage en ligne

Second membre exponentiel x polynôme

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Application à la physique

Dans cette vidéo, Mathis du Studio résout différentes équations différentielles de physique. Il commence par l'équation classique du premier ordre, qui peut être due à une activité radioactive, une cinétique chimique du premier ordre, un freinage avec frottement fluide, ou un circuit RL ou RC. La solution homogène de cette équation est une fonction exponentielle, tandis que la solution particulière peut être trouvée en posant x infini comme constante. Pour l'équation de décharge d'un condensateur, la solution est u égale à u0 - e^(t/RC), tandis que pour l'oscillateur harmonique, la solution est de la forme A*cos(omega*t) + B*sin(omega*t), avec omega égal à racine carrée de k/L. Enfin, pour l'équation de charge dans les circuits RLC, Mathis utilise la méthode habituelle pour trouver la solution homogène et particulière.

Changement variable classique

Dans cette vidéo, Matisse de Studio résout une équation différentielle d'ordre 2 avec un changement d'inconnu. L'équation à résoudre implique x et a différent de 0, ce qui nécessite un changement de variable. Pour cela, on pose y = z(ln(x)) et on vérifie que y est deux fois dérivable si et seulement si z l'est aussi. En effectuant ce changement d'inconnu, on se ramène à une équation linéaire du second ordre à coefficient constant. En résolvant cette équation, on trouve l'ensemble des solutions de l'équation différentielle initiale. La démarche est récurrente et nécessite des connaissances en dérivation, composition et équations différentielles.

Sommes télescopiques

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Sommes des puissances

Dans cette vidéo, Matisse de Studio démontre comment sommer les premières puissances des entiers en utilisant la méthodologie de la récurrence. En notant a_n, b_n et c_n comme les sommes partielles pour k égal à 1 à n, k au carré et k au cube respectivement, il démontre que a_n est égal à n(n+1) sur 2, b_n est égal à n(n+1)(2n+1) sur 6 et c_n est égal à a_n au carré. Il utilise la méthodologie de la récurrence pour démontrer ces relations, en posant une propriété pour chaque cas (Pn pour a_n, Bn pour b_n et Cn pour c_n), en montrant l'initialisation pour n=1, l'hérédité en supposant que la propriété est vraie pour un rang quelconque, puis en synthétisant tout pour obtenir l'expression au rang suivant. En fin de compte, la somme pour k égal à 1 à n des k, k au carré et k au cube correspond respectivement à n(n+1) sur 2, n(n+1)(2n+1) sur 6 et n^2(n+1)^2 sur 4.

Binôme de Newton

Ce cours porte sur le sujet des sommes avec le binôme de Newton, en utilisant la formule pour développer f(x)=1+xⁿ. La somme pour k=0 à n de k parmi n est équivalente à f(1)=2ⁿ. La somme pour k=0 à n de (-1)ᵏ⁺¹ fois k fois k parmi n équivaut à n fois 2ⁿ⁻¹. Enfin, la somme pour k=0 à n de (-1)ᵏ⁺¹ fois k parmi n est équivalente à zéro. Ces sommes peuvent être déterminées en utilisant des techniques telles que la manipulation des expressions en combinatoire et le changement d'indice.

Combinatoire

En résumé, le cours traite des exercices de calcul sur les combinatoires, notamment la démonstration de l'égalité de k parmi n fois p parmi k et p parmi n fois n moins k parmi n moins p. En utilisant des manipulations sur les coefficients binomiaux et le binôme de Newton, on parvient à évaluer des sommes complexes pour aboutir à une réponse de k parmi n fois 2 à la puissance n et 0 si p est différent de n. Le cours souligne l'importance de la manipulation des factoriels pour résoudre de tels problèmes.

Mines : CDV et raccordement

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Somme de coefficients binomiaux

Dans cette vidéo, Mathis de Studio explique comment calculer des sommes de coefficients binomiaux. La première question consiste à calculer la somme de 0 parmi n, 1 parmi n, ... jusqu'à n parmi n. Pour formaliser cela, on calcule la somme de k parmi n, où k varie de 0 à n. En utilisant le binôme de Newton, on trouve que la somme des coefficients binomiaux est égale à 2 puissance n. On demande ensuite de montrer que la somme des termes pairs pour les coefficients binomiaux est égale à la somme des coefficients impairs. En transformant l'équation et en développant les termes, on obtient la somme de (-1) puissance k fois le coefficient binomial k parmi n est égale à 0. On peut alors appliquer le binôme de Newton pour prouver que la somme des termes pairs est égale à la somme des termes impairs. Enfin, on demande de calculer la somme de 0 fois 0 parmi n plus 1 fois 1 parmi n et la somme de 1 sur k plus 1 fois k parmi n. En utilisant le binôme de Newton et des astuces pour manipuler les termes, on trouve que la première somme est égale à 2 puissance n moins 1, et la deuxième est égale à 1 sur n plus 1 fois (2 puissance n plus 1 moins 1). Il est important de formaliser les expressions mathématiques pour résoudre ces problèmes et de ne pas avoir peur de travailler sur l'expression du binôme de Newton.

Centrale : Pb de Cauchy ordre 2

Dans ce cours, Mathis de Studio résout un problème de Cauchy sur les équations différentielles. Le problème est y' plus 1 plus my' plus my est égale à 2m exponentielle de mx avec y' qui est égal à y' qui est égal à 0 selon les valeurs du paramètre m réel. En analysant cette équation, Mathis détermine qu'il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficient constant, qu'il résoud en commençant par la résolution de l'équation homogène. Il trouve deux solutions homogènes possibles et cherche ensuite une solution particulière en fonction de la valeur de m. Il évalue ensuite les valeurs de lambda et mu en utilisant les conditions initiales pour trouver la solution du problème de Cauchy. Il effectue une disjonction de K en fonction de la valeur de m dans chaque cas pour trouver l'unique solution. Mathis conclut en recommandant de faire un tableau récapitulatif pour montrer que l'on comprend bien le problème et pour mettre le correcteur en confiance.

Systèmes linéaires

Dans cette vidéo, Mathis de Cydéo résout trois systèmes linéaires avec trois inconnues en utilisant la méthode du pivot de Gauss. Cette méthode permet de triangulariser le système afin d'obtenir une équation pour x, une pour y et une pour z et ainsi simplifier les calculs. Pour résoudre le premier système, il utilise le pivot de Gauss en soustrayant des combinaisons linéaires des lignes du système. Il obtient alors la solution unique (1, 0, 1). Pour le deuxième système, il applique la même méthode et obtient la solution unique (1, 2, 3). Enfin, pour le troisième système, qui a quatre inconnues, il obtient une solution paramétrée par une variable, et donc une infinité de solutions. La méthode du pivot de Gauss est une première approche pour résoudre des systèmes linéaires, d'autres méthodes existent notamment la résolution matricielle.