Online Probabilités course by Top Instructors - Probabilités

Indépendance et contexte

Dans cet exercice sur les probabilités, nous avons une urne contenant 12 boules numérotées de 1 à 12. Nous devons déterminer si les événements A (tirage d'un nombre pair) et B (tirage d'un multiple de 3) sont indépendants. Pour cela, nous considérons une équiprobabilité, c'est-à-dire que chaque boule a autant de chances d'être tirée. Le nombre de possibilités favorables pour l'événement A (nombres pairs) est de 6 (2, 4, 6, 8, 10, 12), alors que le nombre total de possibilités est de 12. Ainsi, la probabilité de l'événement A est de 6/12, soit 1,5. Pour l'événement B (multiples de 3), il y a 4 possibilités favorables (3, 6, 9, 12) sur un total de 12. La probabilité de B est donc de 4/12, soit 1/3. En ce qui concerne l'intersection des événements A et B (nombres pairs et multiples de 3), seuls les nombres 6 et 12 sont communs. Ainsi, la probabilité de A inter B est de 2/12, soit 1/6. Cette probabilité est également égale au produit des probabilités de A et B, c'est-à-dire 1,5 * 1/3, ce qui donne également 1/6. Par définition, A et B sont donc indépendants dans ce cas. Ensuite, nous reprenons la question avec une urne contenant 13 boules. Les calculs changent légèrement, mais les possibilités de A et B restent les mêmes. La probabilité de A sera alors de 6/13 et la probabilité de B de 4/13. Pour l'intersection des événements, nous avons encore les nombres 6 et 12, mais la probabilité de A inter B sera de 2/13. Ce résultat est différent du produit des probabilités de A et B qui est égal à 24/169. Ainsi, dans le cas de 13 boules, les événements A et B ne sont plus indépendants.

Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle

Dans cet exercice de probabilité, nous avons pour contexte une voisine ayant deux enfants dont nous ignorons le sexe. Nous étudions les trois événements suivants : A (les deux enfants sont de sexe différent), B (l'aîné est une fille), et C (le cadet est un garçon). Nous devons montrer que les événements A, B et C sont indépendants deux à deux, mais pas mutuellement indépendants. Pour commencer, nous supposons que la probabilité d'avoir une fille ou un garçon à la naissance est de 1,5. Nous créons ensuite un arbre pour visualiser les différentes possibilités. Chaque branche a une probabilité de 1,5. La probabilité de A, c'est-à-dire d'avoir deux sexes différents parmi les enfants, est de 2 chances sur 4, soit 1,5. La probabilité de B, c'est-à-dire que l'aîné est une fille, est également de 1,5. La probabilité de C, c'est-à-dire que le cadet est un garçon, est également de 1,5. Ensuite, nous calculons les probabilités des intersections pour montrer qu'elles sont bien égales à la probabilité du produit des individuelles. La probabilité de l'intersection entre A et B, c'est-à-dire que les deux enfants sont de sexe différent et que l'aîné est une fille, est de 1 sur 4. Cela est égal à la probabilité de A multipliée par la probabilité de B, soit 1,5 fois 1,5. Donc, A et B sont indépendants. Les mêmes calculs sont effectués pour les intersections entre A et C, et B et C. Dans les deux cas, les probabilités des intersections correspondent au produit des probabilités individuelles, ce qui montre que A et C, ainsi que B et C, sont indépendants. Enfin, nous devons montrer que les trois événements ne sont pas mutuellement indépendants. La probabilité de l'intersection entre A, B et C est différente du produit des trois probabilités. Plus précisément, la probabilité de A inter B inter C est de 1 quart, tandis que le produit des trois probabilités est de 1,8. Donc, les trois événements ne sont pas mutuellement indépendants. C'est ainsi que se conclut cet exercice de probabilité.

Probabilité d’une réunion et indépendance

Cet exercice porte sur la probabilité et les événements indépendants. On suppose avoir a1, a2 jusqu'à an, n événements d'un espace probabilisé omega p. Ces événements sont mutuellement indépendants et ont des probabilités respectives pi égal à p de ai. On cherche à obtenir une expression simple de la probabilité d'avoir a1, a2, etc., ou an en fonction des pi. On sait que les complémentaires des événements ai sont également mutuellement indépendants. Donc, la probabilité de l'union de ces événements est égale à 1 moins la probabilité de l'intersection de leurs complémentaires respectifs. Cette formule est importante à retenir. De plus, on sait que la probabilité du complémentaire de ai, notée pi bar, est égale à 1 moins pi. Ainsi, la probabilité de l'union de ces événements est égale à 1 moins le produit de 1 à n, de 1 moins pi. Ensuite, pour l'application de cet exercice, on suppose qu'une personne est soumise à n expériences indépendantes, avec une probabilité p d'avoir un accident à chaque expérience. On cherche la probabilité qu'elle ait au moins un accident. La probabilité d'avoir au moins un accident est égale à 1 moins la probabilité de ne pas avoir d'accident du tout. Donc, cela revient à utiliser la formule précédente avec tous les pi égaux à p, et élever le résultat à la puissance n. En résumé, cet exercice traite de la probabilité et des événements indépendants. On utilise des formules pour calculer la probabilité d'union, puis on applique ces résultats à un cas concret où l'on cherche la probabilité d'avoir au moins un accident lors de n expériences indépendantes.

indépendance impossible

Dans cet exercice de probabilité, nous supposons avoir un espace probabilisé avec un univers Ω fini et de cardinal P. Nous utilisons le modèle de l'équiprobabilité, où chaque événement de l'univers a la même probabilité que les autres. L'objectif est de prouver que deux événements A et B, non triviaux (différents de l'ensemble vide et de Ω), ne peuvent pas être indépendants. Nous notons N le cardinal de A et M le cardinal de B. La probabilité de A est donc N/P et la probabilité de B est M/P. En supposant qu'ils sont indépendants, cela signifie que la probabilité de l'intersection de A et B est égale au produit de leurs probabilités. En remplaçant cette équation, nous obtenons le cardinal de l'intersection de A et B, égal à M*N/P. Comme le cardinal est un nombre entier, cela signifie que M*N/P est également un nombre entier. Puisque P est un nombre premier, d'après le théorème de Gauss, P divise N ou P divise M. Supposons que P divise N. Comme N est plus petit ou égal à P, cela signifie que N est soit 0 (ensemble vide) soit P (l'univers Ω). Donc, si A est différent de l'ensemble vide et de Ω, il ne peut pas être indépendant de B. En résumé, si A et B sont indépendants, les seules possibilités sont que A soit l'ensemble vide ou Ω. Si A n'est ni l'ensemble vide ni Ω, alors A et B ne peuvent pas être indépendants.

Relectures indépendantes

Cet exercice de probabilités concerne un livre contenant 4 erreurs. Chaque erreur est corrigée par une série de relecteurs, avec une probabilité de 1/3 à chaque relecture. Les relectures et les corrections sont indépendantes les unes des autres. La question principale est de savoir quelle est la probabilité que l'erreur n°1 ne soit pas corrigée lors de la énième relecture. En utilisant la notation AI pour décrire l'événement "l'erreur 1 est corrigée lors de la ième lecture", nous constatons que P(AI) = 1/3 et P(AI') = 2/3. Les AI étant indépendants, les AI' le sont également. Ainsi, la probabilité que l'erreur n°1 ne soit pas corrigée lors de la énième relecture est (2/3)^n. La deuxième question concerne la probabilité que le livre soit entièrement corrigé lors de la énième relecture. On note BJ comme l'événement "l'erreur n°J n'est pas corrigée après la énième lecture" pour J = 1, 2, 3 ou 4. Nous voulons que l'intersection des BJ' se réalise pour que toutes les erreurs soient corrigées. Comme les BJ sont indépendants, les BJ' le sont également. La probabilité de l'intersection des BJ' est donc égale à (1 - (2/3)^n)^4. Enfin, nous souhaitons savoir combien de relectures sont nécessaires pour que la probabilité que le livre soit entièrement corrigé soit supérieure à 0,9. En résolvant cette équation, nous trouvons que n doit être supérieur à log(1 - 0,9)^(1/4) / log(2/3), soit environ 9,001. Puisque n doit être un entier, nous commençons à partir de n = 10 pour avoir une probabilité supérieure à 0,9.

Jeu équitable

Dans cet exercice, nous étudions principalement l'indépendance entre deux joueurs, A et B, qui s'affrontent dans un jeu. Chaque joueur joue à tour de rôle et le jeu se compose d'au plus N parties. Le joueur qui gagne la première partie gagne le jeu dans son ensemble. Nous supposons que le joueur A a une probabilité a de gagner et le joueur B a une probabilité b de gagner. De plus, nous supposons que chaque partie est indépendante des autres. La première question consiste à déterminer la probabilité que ni A ni B ne gagnent, c'est-à-dire qu'aucun des joueurs ne gagne après 2N parties. Pour cela, nous prenons le complémentaire de l'événement A1 (A gagne la première partie), et nous voulons que A perde la première partie, B perde la deuxième partie, etc. Comme les parties sont indépendantes, la probabilité de l'intersection des complémentaires est le produit des probabilités de chaque partie. Cependant, B joue seulement les parties paires, donc la probabilité recherchée est le produit des probabilités de B perdant chaque partie paire. Nous simplifions ensuite cette expression en remplaçant chaque probabilité par son complément, c'est-à-dire 1-A et 1-B, élevé à la puissance N. Cette probabilité représente donc la probabilité que personne ne gagne après 2N parties. Ensuite, nous cherchons la probabilité que A ou B gagne le jeu. La probabilité que A gagne est la somme des probabilités de chaque partie qu'il gagne. On factorise A et par la suite, en utilisant la formule d'une somme de suite géométrique, nous obtenons une expression de la probabilité que A gagne en fonction de A, B, et N. Nous effectuons le même raisonnement pour la probabilité que B gagne. En utilisant le fait que la somme des probabilités de gagner pour A, B et le match nul est égale à 1, nous pouvons exprimer la probabilité que B gagne en fonction de A, B et N. Finalement, pour que le jeu soit équilibré, il faut que la probabilité que A gagne soit égale à la probabilité que B gagne. Après simplification, nous obtenons la condition d'équilibre : A = B - AB. Cela résume les principales idées traitées dans cet exercice sur l'indépendance et l'équilibre entre deux joueurs dans un jeu.

Cardinal de l’univers

Dans cet exercice de Proba, on considère un univers fini ω avec n événements indépendants a1, a2, ..., an. Ces événements sont liés à de nouveaux événements b1, b2, ..., bn, qui appartiennent aux partitions de l'univers et satisfont la condition que chaque bk est soit égal à ak, soit au complémentaire de ak. On commence par montrer que l'intersection de tous les bn est non vide. Les événements bk étant indépendants, la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités. Comme les probabilités des bk sont différentes de zéro, le produit des n nombres non nuls est non nul. Donc, l'intersection est non vide. Ensuite, on démontre que si on prend deux éléments bn et bn' avec nk différent de nk', alors leur intersection est l'ensemble vide. Comme les probabilités des bn sont différentes de zéro, il existe un k tel que bk est différent de bk'. Et comme bk est soit ak, soit le complémentaire de ak, on a donc une intersection vide entre bn et bn'. Finalement, on utilise ces résultats pour montrer que le cardinal de l'univers Omega est supérieur ou égal à 2^n. On a montré que pour chaque élément bn, il existe un élément x dans bn. De plus, les éléments xb dans les différents bn sont tous différents. Comme pour chaque bn, il y a deux possibilités (ak ou complémentaire de ak), le nombre total d'éléments xb est au moins 2^n. Donc, le cardinal de Omega est supérieur ou égal à 2^n.