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Second membre polynômial

Dans cette vidéo, Mathias de Studio explique comment résoudre des équations différentielles linéaires d'ordre 2. Il commence par dire qu'il s'agit d'un nouveau sujet avec une nouvelle méthode. Tout d'abord, il explique que l'équation présentée est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec des coefficients constants réels. Il précise que cette méthode ne s'applique qu'à ce type d'équations. Ensuite, Mathias détaille les étapes de résolution de l'équation : résoudre l'équation homogène associée, trouver une solution particulière et les sommer. Il montre comment résoudre l'équation homogène en posant l'équation caractéristique et en trouvant ses racines. Il explique également comment trouver une solution particulière en choisissant un réel approprié. Ensuite, il montre comment sommer la solution homogène et la solution particulière pour obtenir l'ensemble des solutions de l'équation. Il répète ensuite la même méthode pour résoudre une deuxième équation différentielle. Finalement, il explique qu'une équation différentielle avec une seule condition initiale fixe une seule solution précise. En utilisant cette condition, il détermine la solution finale de l'équation. En conclusion, Mathias souligne l'importance de connaître les formes classiques du discriminant et de pratiquer régulièrement la résolution d'équations différentielles pour maîtriser cette méthode. Il remercie les spectateurs et leur souhaite une bonne continuation.

Second membre exponentiel x polynôme

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Changement de variable

Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons résoudre une équation différentielle en utilisant un changement d'inconnu. L'équation que nous cherchons à résoudre est x carré y prime prime - 3x y prime + 4y = 0. Tout d'abord, analysons cette équation. Les dérivées de y sont élevées à l'ordre 1, ce qui signifie que cette équation est une combinaison linéaire des dérivées de y. Cependant, cette équation est d'ordre 2 et les coefficients ne sont pas constants, ce qui ne correspond pas exactement au cadre du cours. Mais ne vous inquiétez pas, nous allons tout de même résoudre cette équation en utilisant une méthode qui nous sera fournie. Nous posons z(t) = y(exp(t)). En calculant les dérivées de z, nous obtenons z prime(t) = exp(t) y prime(exp(t)) et z seconde(t) = exp(t) y prime(exp(t)) + exp(t) y prime(exp(t)). En réinjectant cela dans l'équation E, nous obtenons z prime prime(t) - 4z prime(t) + 4z(t) = 0. Cette équation est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants. Nous avons maintenant toutes les indications nécessaires pour résoudre cette équation. La méthode classique consiste à trouver d'abord la solution homogène de l'équation, pour laquelle nous devons poser l'équation caractéristique. Le discriminant de cette équation étant nul et sa racine étant double, la forme générale de la solution homogène est z_h(t) = (lambda t + mu)exp(t), où lambda et mu sont des réels. Nous pouvons donc en conclure que l'ensemble des solutions de l'équation d'origine est l'ensemble des fonctions z(t) = (lambda t + mu)exp(t) avec lambda et mu réels. Afin de vérifier que les solutions trouvées sont bien des solutions de l'équation d'origine, nous devons calculer les dérivées de y et vérifier si elles satisfont l'équation. Après les calculs, nous constatons effectivement que tout se simplifie et que cela équivaut à 0. Par conséquent, toutes les solutions de la forme lambda ln(x) + mu x^2 sont également des solutions de l'équation. En conclusion, les solutions de l'équation sont les fonctions lambda ln(x) + mu x^2 avec lambda et mu réels. Nous avons utilisé une méthode d'analyse synthèse pour arriver à cette conclusion. Cela nous a permis de montrer que les solutions trouvées sont les seules solutions de l'équation. J'espère que vous avez compris ce cours sur la résolution d'équations différentielles via un changement d'inconnu. N'hésitez pas à me poser vos questions si besoin. À bientôt !

Application à la physique

Dans cette vidéo, nous résolvons des équations différentielles de physique. Nous commençons par l'équation classique du premier ordre, qui peut être utilisée pour décrire une activité radioactive, un freinage avec frottement fluide ou un circuit RL ou RC. Sa solution générale est x(t) = x0 - x∞ * exp(-t/τ), avec x0 étant la position initiale et x∞ étant la position à l'infini. Ensuite, nous étudions l'équation de décharge d'un condensateur, où la solution générale est u(t) = u0 - e * exp(-t/RC), avec u0 étant la tension initiale. Ensuite, nous abordons l'équation de l'oscillateur harmonique, où la solution générale est x(t) = A * cos(ω0 * t) + B * sin(ω0 * t), avec A et B étant déterminés par les conditions initiales. Enfin, nous résolvons l'équation de charge dans les circuits RLC, où la solution générale dépend du signe du discriminant et des conditions initiales. La méthode utilisée est de trouver d'abord la solution homogène en résolvant l'équation caractéristique, puis de trouver une solution particulière en posant une constante appropriée. En appliquant les conditions initiales, nous déterminons les valeurs des constantes et obtenons l'unique solution de l'équation différentielle. Finalement, nous concluons que la résolution technique des équations différentielles en physique ne présente pas de grandes difficultés, tant que l'on applique correctement la méthode et que l'on connaît les formules nécessaires.