Online Mécanique course by Top Instructors - Mécanique

Poid et force électrique

Dans cet exercice, l'objectif est de comprendre pourquoi nous pouvons négliger le poids dans les problèmes impliquant des particules chargées. Pour cela, nous comparons l'ordre de grandeur du poids à celui de la force électrique. Le poids est déterminé par la formule m fois g, où m est la masse de la particule et g est l'accélération due à la pesanteur (environ 9,8 m/s²). La force électrique, quant à elle, est calculée en multipliant la charge électrique de la particule (q) par le champ électrique (E). En prenant des ordres de grandeur typiques, le champ électrique est d'environ quelques volts par mètre. Les paramètres importants sont la masse des particules - pour un électron environ 9 x 10-31 kg et pour un proton environ 9 x 10-27 kg - ainsi que la charge électrique qui est d'environ 10-19 coulombs. En se concentrant uniquement sur les normes des forces, on néglige les unités. Donc, en termes de poids, le proton a la masse la plus grande et donc le poids le plus élevé, qui est d'environ 10-26 newtons. Pour la force électrique, elle est d'environ 10-19 newtons, ce qui est beaucoup plus élevé que le poids. Il y a donc sept ordres de grandeur entre la force électrique et le poids. Comme le champ électrique peut être beaucoup plus élevé que quelques volts par mètre, la force électrique est bien plus grande que le poids. C'est pourquoi, dans les problèmes impliquant des particules chargées dans des champs électromagnétiques, nous négligeons le poids.

Électrode

Aujourd'hui, nous allons parler des électrodes et faire un exercice pratique sur le sujet. Les électrodes que nous avons sont planes, parallèles et soumises à une tension U positive. Tout d'abord, nous devons déterminer comment orienter le champ électrique dans ce dispositif. Pour ce faire, nous savons que le champ électrique descend les potentiels. En utilisant la formule E = -∇V, qui lie le champ électrique au potentiel, nous pouvons voir que si la tension U va dans une certaine direction, le champ électrique va dans la direction inverse. Ainsi, E = -U/D, si le champ est uniforme. Ensuite, nous devons calculer la vitesse à laquelle un proton atteindra l'autre électrode, en partant de l'électrode Z = 0. Pour cela, nous allons raisonner en termes de potentiel, qui est essentiellement une forme d'énergie potentielle. En utilisant le théorème énergétique, nous pouvons établir que le potentiel en Z = 0 est QU, où Q est la charge du proton. Le potentiel en D est nul, car c'est le point de référence où le potentiel est considéré comme étant nul. En utilisant le théorème de l'énergie mécanique, nous pouvons équilibrer l'énergie potentielle en Z = 0 (QU) avec l'énergie cinétique en D (1.5mv², où m est la masse du proton et v est sa vitesse). En résolvant cette équation, nous obtenons que la vitesse v est égale à la racine carrée de (2QU/m). Cette formule est souvent utilisée dans les problèmes d'accélération pour calculer la vitesse obtenue en appliquant une différence de potentiel entre deux points. En résumé, dans cet exercice sur les électrodes planes et parallèles soumises à une tension positive, nous avons déterminé l'orientation du champ électrique et calculé la vitesse à laquelle un proton atteint l'autre électrode à partir de l'électrode Z = 0. La vitesse est donnée par la formule racine de (2QU/m).

Puissance de la force de Lorentz

La puissance de la force de Lorentz est exprimée par l'équation F.V, où F est la force et V est la vitesse. La force de Lorentz est donnée par QE + QV × B. Ici, E représente le champ électrique et B le champ magnétique. En appliquant cette équation à la puissance, on obtient QE × B + QV × B.V. Il est important de noter que la partie QE × B apporte de la puissance cinétique, tandis que la partie QV × B.V n'en apporte pas. Cette dernière partie sert simplement à modifier la trajectoire de la particule chargée, en la faisant tourner autour des lignes de champ magnétique. Ainsi, seule la partie électrique de la force de Lorentz apporte de la puissance au mouvement.

Pulsation de cyclotron

La leçon porte sur la pulsation cyclotron d'une particule en mouvement dans un champ magnétique constant. La trajectoire est circulaire et le sens de parcours est déterminé par la vitesse angulaire θ'. L'équation de la particule est donnée par MA = QV×B, où M est la masse, A est l'accélération, Q est la charge, V est la vitesse et B est l'intensité du champ magnétique. En analysant les composantes cinématiques, on trouve que la vitesse V est Rθ'Eθ et l'accélération A est Rθ''Eθ - Rθ'^2ER. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on obtient MRθ'² = QRθ'B. Ainsi, θ' = -QB/M, où θ' est la pulsation cyclotron. Si Q est positif, θ' est négatif, ce qui correspond à un sens de parcours dans le sens horaire. Si Q est négatif, θ' est positif, ce qui correspond à un sens de parcours dans le sens antihoraire. La pulsation cyclotron est donnée par θ' = QB/M. Il est important de retenir cette formule, ainsi que la relation entre la vitesse angulaire θ' et le sens de parcours de la trajectoire.

Sélecteur de vitesse

Dans cette vidéo, nous avons étudié un exercice sur un sélecteur de vitesse qui implique une particule chargée se déplaçant dans un champ électrique et magnétique. Pour que la vitesse de la particule reste inchangée, il faut que la somme des forces exercées sur la particule soit nulle. Cela signifie que la force de Lorentz, qui est la seule force agissant sur la particule dans ce cas, doit être égale à zéro. En résolvant cette expression, nous trouvons que le produit de la charge, du champ électrique et de la vitesse initiale doit être égal à zéro. Dans la deuxième partie de la vidéo, nous explorons comment ce dispositif peut être adapté en tant que sélecteur de vitesse. L'idée est de récupérer uniquement les particules ayant une certaine vitesse. Pour ce faire, nous observons que la force de Lorentz est composée de deux parties, l'une tendant à accélérer les particules (force électrique) et l'autre tendant à les faire tourner (force magnétique). Si la vitesse de la particule change, cela signifie que la force de Lorentz n'est pas nulle. Cependant, en choisissant une valeur précise de la vitesse initiale, nous pouvons obtenir une particule se déplaçant en ligne droite. Ainsi, en plaçant un dispositif de collecte, tel qu'une fente, à la fin de la trajectoire rectiligne de la particule, nous pouvons sélectionner uniquement les particules ayant cette vitesse spécifique. Il est important de noter que pour être précis dans cette sélection, nous devons attendre suffisamment longtemps pour que toutes les trajectoires déviées aient disparu, afin d'éviter de collecter des particules indésirables. La précision de cette sélection dépendra de la vitesse et de la distance parcourue par les particules. Elle permettra de déterminer l'ordre de grandeur de la précision sur la vitesse sélectionnée. En résumé, si la force de Lorentz (q * e * v - q * B * v0) est différente de zéro, la particule sera déviée par le champ magnétique et ne pourra pas être collectée dans le dispositif de sélection.

Champ électrique inconnu

Dans ce cours, nous nous intéressons à un champ électrique inconnu et à la déviation d'une particule à travers ce champ. L'exercice consiste à déterminer la norme du champ électrique et l'angle de déviation de la trajectoire. Pour commencer, nous devons déterminer la direction du champ électrique statique U0. On sait que le champ électrique tend à accélérer les électrons en changeant leur trajectoire. Donc, l'électron est dévié vers le haut, ce qui signifie que la force électrique le pousse vers le haut (UY). Étant donné que l'électron a une charge négative, la force électrique est opposée au champ électrique, ce qui implique que E est opposé à UY. Ensuite, nous devons déterminer le signe de la variation de l'énergie cinétique (ΔEC), c'est-à-dire si elle augmente ou diminue. Comme la vitesse de la particule est toujours positive le long de la trajectoire, la puissance apportée par la force électrique est positive, ce qui signifie que la différence d'énergie cinétique est également positive. Maintenant, nous devons trouver la norme de E0. Pour cela, nous utilisons le travail de la force électrique entre l'entrée et la sortie du champ, qui est égal à moins E fois E0 fois la distance ES (delta Y). En utilisant la ligne droite entre E et S pour simplifier notre calcul, nous obtenons E times E0 times delta Y. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on trouve les équations horaires du mouvement de la particule. En éliminant le temps, on peut écrire l'équation de la trajectoire en fonction de la position horizontale X. En utilisant la distance L pour X, on obtient une équation reliant E0, L, M et V0. Enfin, nous pouvons déterminer l'angle de déviation de la trajectoire en utilisant la vitesse en Y et la vitesse en X à la sortie du champ. En remplaçant les valeurs avec celles obtenues précédemment, nous trouvons que l'angle de déviation tan alpha est égal à E0L/MV0^2. En utilisant la valeur de l'énergie cinétique obtenue précédemment, nous pouvons calculer cet angle. En résumé, l'exercice consiste à déterminer la norme du champ électrique E0 qui dévie une particule à travers une certaine distance L dans un champ électrique constant. Nous avons également calculé la direction du champ électrique, le signe de la variation de l'énergie cinétique et l'angle de déviation de la trajectoire en fonction des grandeurs données.

Particule alpha dans un champ

Aujourd'hui, nous nous intéressons à une particule alpha dans un champ électrique. Une particule alpha est un ion He²+ qui est composé d'un noyau d'hélium. Dans cet exercice, nous avons un faisceau de particules alpha avec une grande vitesse de 2000 m/s qui entre dans une zone avec un champ électrique uniforme de 1000 volts par mètre. Le champ électrique et la vitesse initiale sont de sens opposés. Tout d'abord, on montre que le poids de la particule peut être négligé par rapport à la force électrique. Ensuite, nous décrivons le mouvement de la particule, qui est un mouvement rectiligne uniformément accéléré. On nous demande ensuite si la particule revient au point d'entrée et la durée passée dans la zone du champ électrostatique. Nous utilisons les équations du mouvement pour montrer que la particule revient à sa position initiale après un certain temps. Enfin, nous expliquons que la vitesse de la particule lorsqu'elle revient est opposée à la vitesse initiale. Cela peut être compris par la conservation de l'énergie cinétique.

Mouvement cyclotron

Aujourd'hui, nous allons étudier le mouvement cyclotron, une démonstration classique sur les particules chargées. Nous considérons une particule de charge Q et de masse M qui évolue dans un champ magnétique B selon l'axe OZ. La particule a une vitesse initiale selon l'axe EY. L'objectif est de déterminer le mouvement de la particule dans cette configuration. Nous négligeons le poids de la particule et ne considérons que la force magnétique. Nous commençons par rappeler les expressions des vecteurs vitesse (V) et accélération (A) en coordonnées cartésiennes et les appliquer au Principe Fondamental de la Dynamique (PFD). Pour calculer la force de Lorentz, nous utilisons la formule QV ⊗ B. En projetant cette force sur les deux directions qui nous intéressent, nous obtenons les équations X = QBY/M et Y = QBX/M, que nous appelons équations couplées. Nous voulons résoudre ces équations couplées. Une méthode consiste à dériver l'équation pour obtenir une équation de la forme d'un oscillateur harmonique. Une autre méthode consiste à utiliser une grandeur intermédiaire complexe U = X' + Y'. En dérivant U par rapport au temps, nous obtenons une équation de la forme U' = - Y ωc U, où ωc est la pulsation cyclotronique (QBM). Nous résolvons cette équation en fonction des conditions initiales pour obtenir U(t) = IV0e^(-iωct). Cependant, U n'a pas de sens physique, donc nous séparons sa partie réelle (qui correspond à VX) de sa partie imaginaire (qui correspond à VY). Finalement, nous obtenons X(t) = V0 sin(ωct) et Y(t) = V0 cos(ωct), ce qui représente le mouvement de la particule dans le plan XY. Nous intégrons encore une fois ces équations pour obtenir les expressions de X(t) et Y(t) en fonction du temps. Ainsi, nous trouvons X(t) = V0/(ωc) (1 - cos(ωct)) et Y(t) = V0/(ωc) sin(ωct). La trajectoire de la particule correspond à ces équations et elle forme un cercle. Nous le démontrons en utilisant le théorème de Pythagore pour éliminer les cos² et sin². La vitesse de la particule sur le cercle est constante et égale à V0, tandis que sa vitesse angulaire est égale à ωc. Cela signifie que la particule parcourt le cercle à une vitesse constante et avec une vitesse angulaire déterminée par les propriétés du champ magnétique. Dans le cas d'une particule de charge négative, les équations restent les mêmes, à l'exception du signe de ωc, qui devient négatif. Cela entraîne des changements dans les coordonnées du centre du cercle, mais la trajectoire reste un cercle. En conclusion, l'exercice du mou