Online Calcul matriciel et systèmes course by Top Instructors - Calcul matriciel et systèmes

Diviseur de 0

Dans ce chapitre, nous abordons une méthode simple pour trouver des matrices et comprendre leur comportement. Nous devons trouver deux matrices de taille 2 dont le produit est égal à 0 dans un sens, mais pas dans l'autre sens. Cela souligne le fait que les matrices ne commutent pas nécessairement. Lorsque nous recherchons des exemples de matrices, le plus simple est de commencer par des matrices fondamentales, qui sont des matrices avec des zéros partout sauf à un endroit. Nous les appelons Eij, où i représente la ligne et j la colonne. A cet endroit, nous plaçons un 1. Une propriété intéressante de ces matrices est que le produit de Eij fois Ekl est toujours égal à 0, sauf lorsque la colonne de la première matrice rencontre la ligne de la deuxième matrice. Dans ce cas, nous avons une sorte de "choc" où Eijkl devient Eil lorsque j est égal à k. Si nous prenons l'exemple des matrices de base M22R, nous pouvons voir que le produit de Eij fois Ekl est égal à Ekl. En revanche, le produit de Ekl fois Eij est égal à 0 car les 1 ne se rencontrent jamais. Ainsi, cet exemple souligne l'importance d'utiliser des matrices simples avec beaucoup de zéros plutôt que de se compliquer la tâche. À la prochaine leçon !

Matrices rotations

Dans cette vidéo, le cours porte sur le calcul avec des matrices, plus précisément sur une matrice appelée une matrice de rotation. Cette matrice relie les coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires en physique. L'objectif est de calculer Aθ fois Aθ' et ensuite Aθ'. On remarque que lorsqu'on effectue une rotation de 30° puis de 50°, on obtient une rotation totale de 80°. On espère donc que le produit de rotation a une forme simple en fonction de θ et θ'. Pour démontrer cela, on utilise une formule qui permet de reconnaitre certaines valeurs trigonométriques. En effectuant les remplacements nécessaires, on obtient A de θ plus θ'. Ensuite, on souhaite obtenir A de θ puissance n. En utilisant à nouveau la formule avec A de θ plus θ, on obtient A de θ². Par récurrence, on peut alors écrire que A de θ puissance n est égal à A de nθ. Il est important de bien comprendre ces concepts et d'effectuer les étapes de récurrence rapidement. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser. Au revoir et à bientôt pour une prochaine méthode.

Commutant

Dans cet exercice, nous cherchons à trouver l'ensemble des matrices B qui commutent avec une matrice A donnée. Pour cela, nous observons que la matrice A peut être écrite comme la somme de deux matrices : A fois I2 (matrice identité) et B fois une matrice N (matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale). Cette matrice N est très utile et apparaît souvent dans ce type de problèmes. En simplifiant le problème en utilisant cette écriture, nous obtenons AB = BA si et seulement si NB = BN. Cette équation plus simple nous permet de trouver une structure pour la matrice B : elle s'écrit sous la forme d'un réel fois I2 plus un réel fois N. Ainsi, l'ensemble des matrices qui commutent avec A peuvent également être écrites de cette manière. Il est important de remarquer que cette méthode est plus efficace et rapide que d'autres approches plus lourdes pour résoudre ce type d'exercice. Il est également recommandé de retenir certaines matrices clés, comme la matrice N, qui apparaissent fréquemment et facilitent les calculs. N'hésitez pas à poser des questions et restez à l'affût des prochaines vidéos.

Equation avec la trace

Dans cet exercice, nous examinons une matrice A de taille n x n dans Mn2R qui vérifie la trace de A x T2A égal à 0. Pour cela, nous utilisons la formule du produit de matrice qui donne les coefficients de la matrice A x B. En utilisant la formule de produit de matrice, nous pouvons calculer A x transposé de A en remplaçant Bkj par son équivalent avec la transposée de A. Ensuite, nous nous concentrons sur les coefficients diagonaux pour calculer la trace égale à zéro. La trace est la somme des coefficients diagonaux, donc nous sommes intéressés par la somme des Aik². En analysant cette somme, nous remarquons qu'elle correspond à la somme de tous les coefficients de la matrice A². Si cette somme est égale à zéro, cela signifie que tous les éléments de la matrice A doivent être nuls ou négatifs. Donc, la condition nécessaire et suffisante pour avoir la trace de A x T2A égal à 0 est que la matrice A soit nulle. En conclusion, la méthode utilisée dans cet exercice démontre que si la trace de A x T2A est nulle, la matrice A doit être nulle.