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Algèbre

Opérations sur les matrices

Dans cet exercice, nous examinons une matrice A de taille n x n dans Mn2R qui vérifie la trace de A x T2A égal à 0.
Pour cela, nous utilisons la formule du produit de matrice qui donne les coefficients de la matrice A x B.

En utilisant la formule de produit de matrice, nous pouvons calculer A x transposé de A en remplaçant Bkj par son équivalent avec la transposée de A.

Ensuite, nous nous concentrons sur les coefficients diagonaux pour calculer la trace égale à zéro. La trace est la somme des coefficients diagonaux, donc nous sommes intéressés par la somme des Aik².

En analysant cette somme, nous remarquons qu'elle correspond à la somme de tous les coefficients de la matrice A².

Si cette somme est égale à zéro, cela signifie que tous les éléments de la matrice A doivent être nuls ou négatifs. Donc, la condition nécessaire et suffisante pour avoir la trace de A x T2A égal à 0 est que la matrice A soit nulle.

En conclusion, la méthode utilisée dans cet exercice démontre que si la trace de A x T2A est nulle, la matrice A doit être nulle.

Dans cet exercice également une méthode très intéressante on va regarder que peut-on dire d'une matrice A dans Mn2R, donc de taille n x n, qui vérifie trace de A x T2A égal 0. Là en fait ce qu'on va utiliser principalement c'est la formule de produit de matrice. J'entends la formule qui, pour deux matrices A et B, donne le coefficient, donne chacun des coefficients de la matrice A x B. Donc si j'appelle le grand C la matrice A x B, ce que je veux moi c'est connaître le coefficient Cij qui est au croisement de la ligne I de la colonne J. On sait par cœur, alors là il faut vraiment la connaître par cœur, celle-là vous l'avez vue dans le cours, elle n'est pas très belle, mais c'est bien de la connaître, que Cij égale ce produit-là. Ce produit-là en fait c'est juste la traduction du fait qu'on prend la ligne I de la matrice A qu'on multiplie par la colonne J de la matrice B. Et on fait rencontrer donc les éléments de la ligne de A par les éléments de la colonne de B. Donc quelque chose comme ça si vous voulez. J'ai pas très bien fait, hop, quelque chose comme ça. C'est ça qu'on voit dans cette formule. Alors, ici qu'est-ce qu'il se passe ? Moi je veux calculer A x transposé de A. Donc en fait c'est transposé de A qui va jouer mon rôle de grand B. Et Bij, ben qu'est-ce que c'est ? Bij je peux l'exprimer en fonction de Aij, vu que c'est la transposé de A, je sais que c'est A où j'inverse colonne et ligne. Donc en fait le coefficient Bij va être égal au coefficient Aji. Et donc dans la formule générique qu'il y a ici, je remplace le Bkj par son équivalent avec la transposé de A. Donc j'obtiens non pas Bkj, enfin j'obtiens Bkj égale Ajk. Donc, moi on parle de trace égale à zéro. La trace égale à zéro, la trace on sait que c'est la somme des coefficients diagonaux. Bon, là j'ai un coefficient quelconque, je vais me concentrer sur un coefficient diagonal. Donc je vais prendre i égale j. Ce que je vais faire ici, j'obtiens donc somme des Aik fois Aik, la somme des Aik². Maintenant on me dit que c'est la somme des Cii qui est égale à zéro. Donc je vais faire la somme de ces éléments-là. C'est un peu long, il y a beaucoup de sommes, mais en fait, en allant étape par étape, on voit ce qu'il se passe. Donc je vais chercher le coefficient général, puis le coefficient diagonal, puis je somme tous les coefficients diagonaux. Et ce truc-là doit être égal à zéro. J'en regarde, ça me donne donc la somme de 1 à n des Cii qui sont définis comme précédemment. Ok, ça me fait donc la double somme des Aik². Ça, si on réfléchit, ça fait donc l'ensemble des coefficients pour k égale 1 à n Aik. Donc c'est-à-dire que pour la ligne i fixée, je prends tous les coefficients de la colonne et je fais ça pour chacune des lignes. Ça c'est intéressant, ça veut dire qu'en fait je parcours tous les coefficients de la matrice. Je peux l'écrire comme ça, c'est la somme pour i et k des Aik². Ici j'ai en fait la trace de A transposé de A qui vaut la somme de tous les coefficients de la matrice A². Si ça c'est égal à zéro, une somme de nombres réels au carré égale à zéro, forcément tous les éléments qui sont positifs ou nuls doivent être nuls. Et donc ça va être la conclusion. Je vais pouvoir dire que si la trace est nulle, je dois avoir cette somme qui est nulle. Si cette somme est nulle, il faut que chacun des éléments soit nul. Donc j'ai bien montré que la condition nécessaire et suffisante pour avoir ça, c'est que la matrice a été nulle. Voilà, c'est la réponse à l'exercice. J'espère que c'était clair, c'est une application de cette formule qui n'est pas souvent utilisée et qui est assez élégante. Je vous dis à la prochaine, posez des questions s'il y a besoin, bye bye !

Equation avec la trace

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