Online Complexes course by Top Instructors - Complexes

Interprétation géométrique

Dans cette vidéo, Mathis de Studio calcule l'air d'un triangle à l'aide de nombres complexes. Il montre que les complexes ont la même partie imaginaire et que celle-ci est non nulle en utilisant une formule de produit vectoriel. Il introduit ensuite la notion de triangle direct et montre que la partie imaginaire de conjugué de B moins conjugué de A, facteur de C moins A, permet de déterminer si le triangle est direct ou non. Enfin, il montre que 1 demi de la partie imaginaire de conjugué de B moins conjugué de A, facteur de C moins A, est égal à epsilon fois l'air du triangle ABC, où epsilon est un pseudo-symbole de Kronecker, qui vaut 1 si ABC est direct et moins 1 si non. Ce cours complet sur la représentation des nombres complexes en géométrie donne des outils pour résoudre des exercices complexes.

Somme sinusoïdale

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Le tour des sommes

Dans cette vidéo, on aborde plusieurs propriétés des nombres complexes. D'abord, on montre que si les arguments de deux nombres complexes Z et Z' sont les mêmes, alors le conjugé de Z multiplié par Z' appartient à R+ (les réels positifs). Ensuite, on démontre l'inégalité triangulaire pour le module de la somme de deux nombres complexes. Cette inégalité devient une égalité si et seulement si le produit du conjugé de Z par Z' appartient à R+. On utilise ensuite une démonstration par récurrence pour montrer que pour n nombres complexes, le module de la somme de ces n nombres est inférieur ou égal à la somme des modules de ces nombres. On prouve également qu'il y a égalité dans cette inégalité si et seulement si le produit du conjugé de chaque paire de nombres dans la somme appartient à R+. Enfin, on examine une somme avec des coefficients complexes et on montre que si la somme des ces coefficients est égale à zéro, alors la somme des modules des nombres complexes correspondants est inférieure ou égale à la somme des modules de la différence entre z et chaque nombre. Cette inégalité devient une égalité si et seulement si le produit du conjugé de chaque coefficient par la différence entre z et chaque nombre appartient à R+. Le cours se termine en affirmant que si la somme des modules des nombres complexes est inférieure ou égale à la somme des modules des différences entre z et chaque nombre, alors chaque paire de conjugé de coefficient multiplié par la différence entre z et chaque nombre appartient à R+.

Somme et inégalité

Dans cette vidéo, on étudie les propriétés des nombres complexes. Tout d'abord, on montre que deux nombres complexes ont les mêmes arguments si et seulement si leur conjugué multiplié ensemble est un nombre réel positif. Ensuite, on démontre l'inégalité triangulaire pour le module de la somme de deux nombres complexes : le module de la somme est inférieur ou égal à la somme des modules. De plus, cette inégalité devient une égalité si et seulement si le conjugué du produit des deux nombres complexes appartient à l'ensemble des nombres réels positifs. On généralise ensuite cette inégalité triangulaire pour la somme de n nombres complexes en utilisant la récurrence. Ensuite, on montre que si la somme des nombres complexes divisés par leur module est égale à zéro, alors la somme des modules de ces nombres est inférieure ou égale à la somme des modules de z moins chaque nombre complexe. Enfin, on montre que cette inégalité devient une égalité si et seulement si le conjugué de chaque nombre complexe divisé par z moins ce nombre complexe appartient à l'ensemble des nombres réels positifs. Cette démonstration nécessite une bonne manipulation et calcul des nombres complexes.