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Maths
Analyse
MPSI/PCSI
Second membre polynômial
Dans cette vidéo, Mathias de Studio aborde les équations différentielles linéaires d'ordre 2. Il explique tout d'abord qu'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 est une équation où la dérivée seconde de la fonction inconnue apparaît, comme dans l'exemple donné : y'' - 3y' + 2y = 1. Il précise également que les coefficients devant les différentes dérivées doivent être constants et réels.
Mathias explique ensuite la méthode à suivre pour résoudre ce type d'équations. Tout d'abord, il faut résoudre l'équation homogène associée, c'est-à-dire l'équation sans le second membre (dans cet exemple, y'' - 3y' + 2y = 0). Pour cela, il pose l'équation caractéristique et résout le polynôme correspondant. Dans cet exemple, les racines de ce polynôme sont 2 et 1, ce qui permet d'écrire la solution homogène générale.
Ensuite, Mathias cherche une solution particulière en choisissant une fonction simple dans le second membre de l'équation différentielle. Dans cet exemple, il trouve que y = 1.5 est une solution particulière.
Enfin, il suffit de sommer la solution homogène générale et la solution particulière pour obtenir l'ensemble des solutions de l'équation différentielle.
Mathias donne ensuite un autre exemple d'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à résoudre, en expliquant que dans ce cas, il y a une condition supplémentaire à vérifier. Il montre comment résoudre cette équation en suivant les mêmes étapes que précédemment.
Enfin, Mathias aborde un dernier exemple avec une seule condition, ce qui donne une solution unique pour l'équation différentielle.
Il conclut en rappelant l'importance de connaître les formes classiques du discriminant de l'équation caractéristique pour résoudre ce type d'équations. Il encourage à bien apprendre ces formules, car cela facilite grandement la résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 2.
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MPSI/PCSI
Second membre exponentiel x polynôme
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Maths
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MPSI/PCSI
Application à la physique
Dans cette vidéo, Mathis du Studio résout différentes équations différentielles de physique. Il commence par l'équation classique du premier ordre, qui peut être due à une activité radioactive, une cinétique chimique du premier ordre, un freinage avec frottement fluide, ou un circuit RL ou RC. La solution homogène de cette équation est une fonction exponentielle, tandis que la solution particulière peut être trouvée en posant x infini comme constante. Pour l'équation de décharge d'un condensateur, la solution est u égale à u0 - e^(t/RC), tandis que pour l'oscillateur harmonique, la solution est de la forme A*cos(omega*t) + B*sin(omega*t), avec omega égal à racine carrée de k/L. Enfin, pour l'équation de charge dans les circuits RLC, Mathis utilise la méthode habituelle pour trouver la solution homogène et particulière.
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MPSI/PCSI
Changement variable classique
Dans cette vidéo, Matisse de Studio résout une équation différentielle d'ordre 2 avec un changement d'inconnu. L'équation à résoudre implique x et a différent de 0, ce qui nécessite un changement de variable. Pour cela, on pose y = z(ln(x)) et on vérifie que y est deux fois dérivable si et seulement si z l'est aussi. En effectuant ce changement d'inconnu, on se ramène à une équation linéaire du second ordre à coefficient constant. En résolvant cette équation, on trouve l'ensemble des solutions de l'équation différentielle initiale. La démarche est récurrente et nécessite des connaissances en dérivation, composition et équations différentielles.
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MPSI/PCSI
Changement de variable
Dans cette vidéo, Mathis de Studio résout une équation différentielle non linéaire à coefficient non constant. Pour y arriver, il pose une nouvelle variable z qui est égale à y multiplié par exponentielle de t. Il calcule ensuite z' et z'' pour obtenir une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficient constant que l'on peut résoudre en posant une solution homogène z_h. Cette solution générale est composée de lambda t plus mu exponentielle de t, où lambda et mu sont des réels. En réinjectant cette solution dans l'équation différentielle, Mathis de Studio obtient les solutions de l'équation, qui sont toutes de la forme lambda x plus mu x carré avec lambda et mu des réels. Finalement, il explique le raisonnement en analyse synthèse pour déduire que l'ensemble des solutions est celui-ci, et que l'on a atteint les deux degrés de liberté nécessaires pour définir l'ensemble des solutions.
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Second membre polynômial
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Second membre exponentiel x polynôme
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Changement de variable
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Changement de variable
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Application à la physique
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Changement variable classique
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BCPST
Second membre polynômial
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Second membre exponentiel x polynôme
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Changement de variable
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Changement de variable
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Application à la physique
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Second membre exponentiel x polynôme
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