Home

MPSI/PCSI

Maths

Analyse

EDL 2nd ordre à coéffs constants

Dans cette vidéo, Mathias de Studio aborde les équations différentielles linéaires d'ordre 2. Il explique tout d'abord qu'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 est une équation où la dérivée seconde de la fonction inconnue apparaît, comme dans l'exemple donné : y'' - 3y' + 2y = 1. Il précise également que les coefficients devant les différentes dérivées doivent être constants et réels.

Mathias explique ensuite la méthode à suivre pour résoudre ce type d'équations. Tout d'abord, il faut résoudre l'équation homogène associée, c'est-à-dire l'équation sans le second membre (dans cet exemple, y'' - 3y' + 2y = 0). Pour cela, il pose l'équation caractéristique et résout le polynôme correspondant. Dans cet exemple, les racines de ce polynôme sont 2 et 1, ce qui permet d'écrire la solution homogène générale.

Ensuite, Mathias cherche une solution particulière en choisissant une fonction simple dans le second membre de l'équation différentielle. Dans cet exemple, il trouve que y = 1.5 est une solution particulière.

Enfin, il suffit de sommer la solution homogène générale et la solution particulière pour obtenir l'ensemble des solutions de l'équation différentielle.

Mathias donne ensuite un autre exemple d'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à résoudre, en expliquant que dans ce cas, il y a une condition supplémentaire à vérifier. Il montre comment résoudre cette équation en suivant les mêmes étapes que précédemment.

Enfin, Mathias aborde un dernier exemple avec une seule condition, ce qui donne une solution unique pour l'équation différentielle.

Il conclut en rappelant l'importance de connaître les formes classiques du discriminant de l'équation caractéristique pour résoudre ce type d'équations. Il encourage à bien apprendre ces formules, car cela facilite grandement la résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 2.



Bonjour à tous, c'est Mathias de Studio. Dans cette vidéo, on va s'attaquer aux équations différentielles linéaires d'ordre 2. Alors ça y est, on a franchi un cap dans la résolution d'équations différentielles puisqu'on va s'attaquer à comme celle-ci des équations différentielles linéaires d'ordre 2. On a un second degré de dérivation par rapport à l'entre zéro, donc y seconde moins 3 y prime plus 2 y est égal à 1. Alors qui dit nouvelle classe d'équations différentielles à résoudre dit nouvelle méthode totalement. Alors on va la détailler pas à pas. Tout d'abord, on doit toujours, vu que c'est une équation différentielle, on doit la classer. C'est bien une équation différentielle linéaire d'ordre 2, donc une EDL2. Et d'ailleurs on peut aller un peu plus loin que ça, vu qu'on peut la caractériser comme étant un coefficient constant, c'est-à-dire que les coefficients devant les différentes dérivées, ce sont des coefficients constants, ce sont des réels. Et ça c'est très important car on ne peut, enfin en tout cas on a une méthode toute prête, que pour les équations différentielles linéaires d'ordre 2, un coefficient constant. Donc on ne verra jamais de x, x carré, etc. On n'en verra jamais, sauf dans des exercices où ça peut, on peut nous demander de le résoudre, mais à ce moment-là on nous mettra sur la voie par exemple pour faire un changement d'inconnu ou autre chose. Bon, en tout cas ici c'est bien un coefficient constant, donc on a une méthode toute trouvée. C'est parti. On commence par résoudre, ça va être la même chose que pour l'ordre 1, on résout l'équation homogène associée, ensuite on trouve une solution particulière et on somme. Sauf que ces deux étapes vont se dérouler d'une manière différente. Alors, l'équation homogène associée c'est y'-3y'-2y est égale à 0. Et donc là, il faut le savoir, c'est une méthode à dérouler, tout comme on faisait par exemple pour la primitive et la mise sous forme exponentielle. Non, maintenant il faut poser l'équation caractéristique associée. Alors ça doit faire des parallèles normalement avec avec la physique, avec notre chère équation d'oscillateur amorti. Mais en tout cas, ça correspond à quoi ? Ca correspond à poser un polynôme, donc en r, c'est plus simple. A chaque fois, on prend le degré de dérivation et on élève r à ce coefficient. Donc on a bien r²-3r plus 2 qui est égal à 0. Ok, qu'est ce qu'on fait de cette équation caractéristique ? Et bien on la résout, on cherche ses racines. Alors ici, pour résoudre un polynôme d'ordre 2, c'est très simple, on écrit son discriminant, i est égal à 1, donc qui est strictement positif. Donc ça c'est très important, le signe du discriminant va totalement influencer la forme de la solution homogène. Donc là, on retient, il est positif. Ses racines, c'est r1 qui est égal à 2 et r2 qui est égal à 1. Donc la solution homogène, elle est de forme générale. Alors il faut le savoir, vu que le discriminant est positif, yh qui a x associé lambda, un réel, fois exponentielle de la première racine, fois x, donc exponentielle de 2x, plus mu, un autre réel, fois exponentielle de la deuxième racine, donc 1 fois x. Alors ici, on se souvient, avant on avait un degré de liberté pour la solution homogène, maintenant on en a deux. On peut à la fois faire varier lambda et à la fois faire varier mu. Ok, donc la troisième étape, c'est de trouver une solution particulière. Alors, une solution particulière, bon ici, vu que c'est des coefficients constants et qu'on doit trouver au final un réel, eh bien on a juste à essayer avec quelques réels dans sa tête, sachant que si on prend un réel, eh bien y seconde et y prime, c'est nul. Donc on a juste à prendre y qui vaut 1,5 pour trouver une solution particulière, c'est très rapide. Dernière étape, on somme pour trouver l'ensemble des solutions. C'est l'ensemble qui a x associé lambda exponentielle de 2x, plus mu exponentielle de x, plus 1,5, lambda et mu appartenant à R, on a donc maintenant deux degrés de liberté. Ok, j'espère que vous avez bien saisi la méthode, on va continuer à s'entraîner sur la deuxième. Maintenant, y prime prime moins 2y prime plus y est égal à x, sachant que maintenant il y a deux conditions à vérifier. Y en 0 doit valoir y prime en 0, qui doit valoir 0. Donc on a une condition sur la dérivée première, sur la dérivée 0, une condition sur la dérivée première, et puis une équation différentielle d'entre 2. Donc en fait, ça correspond à un problème de Cauchy. Donc on sait directement qu'il n'y aura qu'une seule solution. C'est parti, on va le montrer. Alors on commence toujours par classer l'équation différentielle. C'est bien une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficient constant, ça tombe bien, on sait le faire. Alors, l'équation homogène associée, c'est celle-ci, d'équation caractéristique R2 moins 2R plus 1, qui est égale à 0. Alors, le discriminant de ce polynôme, et bien c'est 0, puisque en fait c'est un polynôme, c'est R moins 1, le tout au carré. De discriminant 0, il y a donc une racine double, c'est R0, et elle vaut 1. Alors la solution homogène pour un discriminant qui est nul, il faut retenir, c'est x associé lambda x plus mu, avec les mêmes constantes, fois le tout, fois exponentielle de la racine double fois x. Ici, c'est R0, qui ici vaut 1. Donc lambda x plus mu exponentielle de x. Ok. Maintenant, on cherche une solution particulière. Comme on a un second membre en polynôme de degré 1, on va poser, on va essayer de trouver comme ça, ys en polynôme de degré 1. Donc ys est solution si et seulement si moins 2a plus ax plus b est égal à x, si et seulement si a égale 1 et b égale 2. Donc x associé x plus 2 est solution particulière de E. Ok. Finalement, quatrième étape, sommons et concluons. La somme des deux, c'est donc y qui a x associé lambda x plus mu exponentielle x plus x plus 2 de dérivés x associé lambda x plus mu exponentielle x plus lambda exponentielle x plus 1. Ok. Or, maintenant, on a des conditions à vérifier. Il y en a deux. Donc on obtient un système y en 0 qui vaut mu plus 2 est égal à 0 et y prime en 0 qui vaut lambda plus mu plus 1 est égal à 0. On en déduit donc mu est égal à moins 2 et lambda est égal à 1. Conclusion, l'ensemble des solutions de E, et bien en fait c'est un singleton, il y a une seule solution, c'est la fonction qui a x associé x moins 2 exponentielle x plus x plus 2. Voilà, nous avons répondu, nous avons résolu, pardon, l'équation différentielle. La dernière à examiner, c'est y prime prime plus 9y est égal à x plus 1, y en 0 valant 0. Ici, on a une seule condition. En fait, le nombre de conditions va nous fixer l'une ou l'autre des inconnues, donc nous fait perdre un degré de liberté. Comme ici, on a des équations d'ordre 2, on a normalement, comme par exemple pour la première, s'il n'y a aucune condition, on a deux degrés de liberté, via lambda et via mu. Comme on avait deux conditions pour celle-ci, on a perdu deux degrés de liberté, donc on n'avait plus de liberté, c'était une seule solution précise. Ici, on a une seule condition, on perd un degré de liberté, donc on va avoir, il nous restera un degré de liberté, c'est ce qu'on va montrer. Alors, c'est parti. E, c'est donc y prime prime plus 9y est égal à x plus 1, c'est bien une équation différenciée linéaire d'ordre 2 à coefficient constant, et on résout l'équation homogène associée, c'est y prime prime plus 9y est égal à 0. L'équation caractéristique, on la pose, c'est r carré plus 9 est égal à 0. Son discriminant, par contre, là, il est strictement négatif, et les racines, ce sont des racines complexes, plus ou moins i fois 3. Alors, la solution, je vous conseille de toujours écrire les racines, lorsque le discriminant est strictement négatif, les racines, il faut les écrire sous forme algébrique, donc a plus ou moins ib. Donc la solution homogène, elle est de forme générale, il faut le savoir, c'est comme ça, x associé lambda cosinus 3x plus mu sinus 3x, donc le 3, il est issu du i bêta, juste ici. En fait, pour avoir, si vous vous souvenez bien de votre cours, si on a des solutions en alpha plus ou moins i bêta, j'ai fait beaucoup de coups, donc plus ou moins i bêta, ok, les solutions, c'est quoi ? Enfin, la solution générale, c'est lambda cosinus de bêta x plus mu sinus de bêta x, le tout exponentiel de alpha x. Or ici, dans cette situation, alpha vaut 0, donc exponentiel de 0, c'est 1, c'est pourquoi il reste juste lambda cos 3x plus mu sin 3x. C'est parti maintenant pour la solution particulière. On a directement, vu que c'est un polynôme d'ordre 1, bon, en vrai, en regardant l'équation juste ici, sachant que si on cherche de l'ordre 1, y prime prime vaut 0, il y en a juste à poser x plus 1 divisé par 9, bien sûr que ça vérifie E. Quatrième étape, on somme et on conclut, donc y, c'est la fonction qui a x, si lambda cosinus 3x plus mu sinus 3x qui est plus x plus 1 sur 9, et puis maintenant, seulement maintenant, on peut appliquer les conditions initiales, attention à bien sommer avant d'appliquer les conditions, maintenant y en 0, ça vaut lambda plus 1 neuvième, et c'est égal à 0 d'après ce qu'on nous est imposé, donc lambda est égal à moins 1 neuvième. Conclusion, l'ensemble des solutions de E, c'est l'ensemble des fonctions qui a x associé moins 1 neuvième cos 3x plus mu sin 3x plus x plus 1 sur 9, lambda étant un paramètre réel, on a, mu pardon, donc on a bien qu'un seul degré de liberté. Voilà, c'était un exercice qui résume bien toutes les méthodes, quasiment toutes les méthodes pour résoudre des équations de différenciés linéaires d'ordre 2, donc on retient, pour la recherche de solutions homogènes, ça dépend totalement du discriminant de l'équation caractéristique, il faut bien connaître ses formes classiques, sachant s'il est positif, nul ou négatif, alors j'ai plein d'élèves qui n'apprennent pas ces formules-là, qui se disent bon avec le temps j'ai commencé à accumuler, vraiment ça prend deux secondes, on se pose, bon allez, deux minutes, on prend deux minutes, on prend sa feuille, on note et on retient la manière dont ça s'écrit et ça y est, après c'est donné, vous voyez, on a juste à appliquer la méthode, donc moi je trouve que c'est des points qui sont quand même plutôt faciles à aller chercher, vu que lorsqu'on connaît son cours, eh bien la méthode est toute tracée. Donc, merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, je vous dis à bientôt et bonne continuation.

Second membre polynômial

RELATED

Recommended videos

Second membre exponentiel x polynôme

Application à la physique