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EDL 2nd ordre à coéffs constants

Dans cette vidéo, Mathis du Studio résout différentes équations différentielles de physique. Il commence par l'équation classique du premier ordre, qui peut être due à une activité radioactive, une cinétique chimique du premier ordre, un freinage avec frottement fluide, ou un circuit RL ou RC. La solution homogène de cette équation est une fonction exponentielle, tandis que la solution particulière peut être trouvée en posant x infini comme constante. Pour l'équation de décharge d'un condensateur, la solution est u égale à u0 - e^(t/RC), tandis que pour l'oscillateur harmonique, la solution est de la forme A*cos(omega*t) + B*sin(omega*t), avec omega égal à racine carrée de k/L. Enfin, pour l'équation de charge dans les circuits RLC, Mathis utilise la méthode habituelle pour trouver la solution homogène et particulière.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on va résoudre des équations différentielles mais de physique. Alors, est-ce qu'on est maintenant capable de les résoudre, ces équations? Alors tout d'abord, on va s'attaquer à l'équation classique du premier ordre. Alors, ça peut être dû à une activité radioactive, c'est clairement une équation différentielle de cinétique chimique du premier ordre ou encore un freinage avec frottement fluide, par exemple une chute libre avec une force de frottement fluide ou un circuit RL aussi, RC, tout ce qu'on veut. Enfin bref, elle intervient très très souvent en physique. C'est x. plus x sur tau, tau un temps caractéristique, qui est égal à x infini, donc la solution x à l'infini, divisé par tau. Alors, premièrement, on vérifie la classe, c'est une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Donc, on met en place la démarche. Tout d'abord, la solution homogène de cette équation homogène, vu que c'est un coefficient constant, 1 sur tau, eh bien xh, x c'est l'inconnu, c'est la fonction qu'on cherche à déterminer, c'est la fonction qui a t associé à l'exponentiel moins t sur tau, avec a appartenant à R. Donc x est une fonction du temps. On remarque, c'est la forme générale qu'on en a appris par coeur en physique, mais maintenant on sait pourquoi ça s'écrit comme ça. Ensuite, on cherche une solution particulière. Eh bien, la solution particulière se tient très clairement ici en posant x qui est égal à x infini. x infini est constant, donc sa dérivée première est nulle et ça vérifie bien l'égalité. Donc x infini est une solution particulière de E. Conclusion, tout simplement, il faut juste avant vérifier une condition initiale. X en pour t égale 0 est égal à x 0. Donc il part d'une position initiale. Alors on fait bien attention à sommer la solution homogène et la solution particulière. Et puis après, cette solution doit vérifier x en 0. On évalue directement, ça vaut a plus x infini et ça doit valoir x 0. Donc a est égal à x 0 moins x infini. Donc l'unique solution de E, c'est x qui a t associé x 0 moins x infini exponentiel de moins t sur tau plus x infini. Très bien, on passe à la deuxième. Alors c'est l'équation ici de décharge d'un condensateur, sachant qu'il est initialement chargé avec la tension u0. Alors qu'est-ce qu'on commence à faire? Bien sûr on commence par normaliser, sachant que rc est différent de 0 bien sûr. Et on se retrouve avec une équation différentielle linéaire du premier erreur. Donc en adaptant, bon ici c'est vrai qu'on peut prendre exactement la même chose, tau ici c'est le temps caractéristique de décharge, bien on sait que c'est égal à rc dans un circuit rc série. Et puis la charge de départ c'est u0 et la charge à l'infini, lorsque il n'y a plus de variation de la tension, et bien u vaut e. Donc au final on obtient la solution u qui a t associé, u0-e exponentielle de moins t sur rc plus e. Très bien, alors la deuxième ça va être l'équation de l'oscillateur harmonique, c'est la préférée de tout le monde je pense. Alors soit c'est égal à 0, soit c'est égal à grand A, très bien, avec omega 0 c racine de k sur L bien sûr, et sachant qu'il part d'une position initiale avec une vitesse initiale. Alors l'oscillateur harmonique, on posait directement la solution quand on était en physique, on savait que c'était du A cos omega t plus B sin omega t. Bon là on va le redémontrer grâce à nos outils mathématiques. C'est directement une équation homogène, donc la solution homogène on doit poser l'équation caractéristique, c'est ici r² plus omega 0² est égal à omega 0, donc les racines sont complexes, le discriminant est strictement négatif, plus ou moins i omega 0. Donc là on comprend mieux pourquoi la solution homogène c'est la solution qui a t associé lambda cos sin omega 0 t plus mu sin omega 0 t, avec lambda et mu appartenant à r. Maintenant les conditions initiales, ce que je vous conseille c'est de directement, une fois qu'on a posé x directement dérivé, donc on sait qu'on va en avoir besoin, donc on dérive directement, il y a un omega 0 qui sort devant et puis un moins lorsqu'on dérive le cosinus, et ça y est on évalue x en t0 c'est égal à lambda cos sin omega 0 t0 plus mu sin omega 0 t0 c'est égal à x0, et x point en t0 c'est égal à mu omega 0 cos omega t0 moins lambda omega 0 sin omega 0 t0, et c'est égal à v0. Finalement ça nous donne un système, deux équations, deux inconnues, on le résout, ça nous fait plaisir vu qu'on est en maths et qu'on est habitué à résoudre des systèmes, on en déduit lambda et mu, et au final l'unique solution de e, c'est lambda cos sin omega 0 t plus mu sin omega 0 t, mais pas du tout avec lambda et mu des réels quelconques, non, avec lambda et mu tels que fixés juste ici, ils sont fixés par les conditions initiales. Maintenant l'équation quand il y a une solution particulière, si on regarde l'équation juste ici, celle constante telle que x associé à a sur omega 0 carré, elle vérifie facilement l'équation différentielle, donc c'est une solution particulière. Alors à ce moment là, t associé à a sur omega 0 carré est évidente, d'où l'unique solution de l'équation différentielle c'est lambda cos sin omega 0 t plus mu sin omega 0 t plus a sur omega 0 carré avec lambda et mu qui sont fixés. Bien sûr il faut encore poser le système qui ne sera pas exactement comme celui-ci et puis le résoudre. La quatrième c'est l'équation de charge sans doute, l'équation de la charge dans les circuits RLC. Alors là on est passé directement au second ordre, là aussi vous me direz mais c'est un cap un peu particulier, avec q en 0 qui vaut 0 et q point en 0 qui vaut 0. Lambda c'est r sur 2L et omega 0 c'est 1 sur racine 2LC. Alors à partir de cette équation, au final on n'a même pas à savoir de quoi il s'agit, on a juste appliqué la méthode. On commence par la solution générale d'équation caractéristique r carré plus 2 lambda r plus omega 0 carré est égal à 0. Son discriminant c'est 4 lambda carré moins 4 omega 0 carré. Et donc là on essaye de savoir son signe, pour savoir son signe on peut avoir des indices en développant lambda carré omega 0 carré mais au final ça dépend totalement des valeurs des composants. Donc on peut avoir plusieurs cas possibles. Si delta est strictement supérieur à 0, le régime est apériodique et donc on a les deux racines r1 et r2 moins 2 lambda plus ou moins racine de delta sur 2. A ce moment là, la solution homogène sera la charge qui a t associé lambda exponentielle r1t plus mu exponentielle r2t. Là j'ai mis un gamma. Gamma et mu appartenant à r. Si delta est égal à 0, c'est un régime, on se rappelle un régime critique. Donc à ce moment là on a une seule racine double, moins lambda et d'après les mathématiques, qh c'est la solution qui a t associé le gamma t plus mu exponentielle de r0t. Gamma et mu appartenant à r. C'est bon je me suis souvenu pourquoi j'avais pas mis lambda, c'est puisque c'était déjà le facteur d'amortissement. Et ensuite si delta est strictement négatif, le régime est pseudo-périodique. A ce moment là on a des racines conjuguées et ce que l'on fait très souvent en physique, on se rappelle, on fait apparaître une pseudo-pulsation juste ici qui est égale à la racine de moins lambda divisé par 2 et à ce moment là, vu qu'on a mis sous forme algébrique, qh c'est la fonction qui a t associé gamma cosinus grand omega t plus mu sinus grand omega t exponentielle de moins lambda sur 2 fois t. Ensuite on établit à l'aide des conditions initiales, on a deux conditions initiales donc il faut dériver la charge une fois, il faut pas oublier de rajouter la solution particulière qui est e sur l et donc on en déduit mu et gamma qui ne sont plus des réels quelconques, ils sont fixés. Ainsi l'unique solution en régime critique cq qui a t associé e sur l facteur de moins lambda t moins 1 exponentielle de moins lambda t plus e sur l. Voilà comment avec des outils de maths on arrive à démontrer des résultats de physique, je me souviens que j'adorais ça quand j'étais en prépa vu qu'on retombait sur nos pattes grâce à des outils. Donc bien retenir la méthode et on voit que ça se fait assez facilement, au final la physique ne présente pas tant de difficultés en termes de résolution technique, y'a pas de grandes fonctions à intégrer ou choses comme ça. Donc ça se fait bien, c'est très souvent avec des signes constants, à partir du moment où on applique correctement la méthode et qu'on connaît ses formules y'a pas de soucis. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis je vous dis à bientôt!

Application à la physique

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