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EDL 2nd ordre à coéffs constants

Dans cette vidéo, Mathis de Studio résout une équation différentielle non linéaire à coefficient non constant. Pour y arriver, il pose une nouvelle variable z qui est égale à y multiplié par exponentielle de t. Il calcule ensuite z' et z'' pour obtenir une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficient constant que l'on peut résoudre en posant une solution homogène z_h. Cette solution générale est composée de lambda t plus mu exponentielle de t, où lambda et mu sont des réels. En réinjectant cette solution dans l'équation différentielle, Mathis de Studio obtient les solutions de l'équation, qui sont toutes de la forme lambda x plus mu x carré avec lambda et mu des réels. Finalement, il explique le raisonnement en analyse synthèse pour déduire que l'ensemble des solutions est celui-ci, et que l'on a atteint les deux degrés de liberté nécessaires pour définir l'ensemble des solutions.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio et aujourd'hui on va résoudre une équation différentielle via un changement d'inconnu. Alors on cherche à résoudre sur R plus étoile l'équation différentielle suivante x²y''-3xy''-4y est égale à 0, c'est l'équation E. Alors cette équation est-ce qu'elle est linéaire et qu'est-ce qui change par rapport au cours? Alors c'est parti pour analyser cette équation. Les dérivés de y sont élevés à l'ordre 1. Cette équation est simplement une combinaison linéaire des dérivés de y. Puisqu'ici on peut se dire, x peut être un paramètre, un inconnu, peu importe, c'est un réel. Il s'agit bien d'une combinaison linéaire de dérivés de y. Maintenant on se sent un peu gêné vu que ce n'est pas exactement le cadre du cours. En fait qu'est-ce qui change? C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 mais qui n'est pas à coefficient constant. Or le cadre du cours c'est coefficient constant, toute la méthode avec l'équation caractéristique. Donc nous n'avons pas de solution ou de méthode analytique issue du cours. Bon c'est très souvent le cas dans l'exercice en col ou en cours. Il ne faut pas se stresser avec ça puisqu'en fait on va nous fournir une méthode qu'on a simplement à appliquer. Alors justement c'est parti. On pose une analyse soit y une solution de E sur R plus étoile. Pour t appartenant à R on pose z de t qui est égal à y de exponentielle t. Ok, première question, calculez pour t appartenant à R z prime et z seconde. Eh bien ça on va simplement se procéder par composition. Déjà par théorème généraux, c'est le mot clé à sortir pour avoir des points, eh bien z est deux fois dérivable. Et z prime de t on dérive une composée donc c'est la dérivée à l'intérieur exponentielle t y prime exponentielle t. Et pour la dérivée seconde eh bien on se retrouve avec un produit et encore une fois une composition. Donc finalement on obtient exponentielle t y prime exponentielle t plus exponentielle de t y prime prime exponentielle t. Ok, maintenant question B. En déduire que z vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à un coefficient constant que l'on précisera. Et on pourra poser x qui est égal à exponentielle t dans E. Ok, alors à partir de là, E, si l'on réinjecte à ce moment là dans E, on fait apparaître x comme étant exponentielle t. Et donc on obtient cette équation exponentielle de t y prime prime exponentielle t moins 3 exponentielle t y prime exponentielle t plus 4 y exponentielle t est égale à 0. Et donc ça, ça se simplifie comment? D'après ce qu'on a obtenu juste au-dessus, exponentielle de t y prime prime on le retrouve ici. Donc on a simplement ce terme à faire passer de l'autre côté. Et en fait on se rend compte que c'est z prime. Donc on obtient bien cette expression et le reste c'est simplement de l'identification. Donc au final nous obtenons l'équation différentielle qui est vérifiée par z qui est z prime prime de t moins 4 z prime de t plus 4 z de t est égale à 0. Et ça tombe bien car c'est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à un coefficient constant. Donc on se dit qu'à partir de là on a toute la méthode à appliquer pour résoudre cette équation. Ok, justement, question C, résoudre l'équation différentielle, trouver la question précédente. C'est parti! Alors, c'est la méthode classique. On cherche tout d'abord la solution homogène de l'équation différentielle. Donc pour ça il faut poser l'équation caractéristique qui est juste ici. Son discriminant est 0 et sa racine double est 2. Donc à partir de là, la forme de la solution générale c'est zh qui a t associé lambda t plus mu exponentielle de t. Et la solution générale de 2 prime. Lambda et mu appartenant à R. Et donc, vu que l'équation est déjà homogène, on peut en conclure directement que l'ensemble des solutions de E prime, c'est l'ensemble des fonctions qui a t associé lambda t plus mu exponentielle de t, lambda et mu appartenant à R. Très bien. Alors qu'est-ce qu'on fait de ça? Troisième question, vérifier que réciproquement, les fonctions trouvées à la fin de l'analyse sont bien toutes des solutions de E et conclure. Alors, on demande alors de faire un chemin inverse pour voir si à partir de là, en termes de synthèse, c'est vérifier que les solutions qu'on a trouvées dans l'analyse sont effectivement solutions de l'équation que l'on considère. Alors, pour basculer, on pose z de t qui est égal à lambda t plus mu exponentielle de t. Et donc, y de x, en faisant le changement d'inconnu qu'on a fait, c'est lambda à l'aine de x plus mu facteur de x carré. Donc, à ce moment-là, on va réinjecter pour calculer. Maintenant, on doit vérifier si pour tout lambda et mu appartenant à R, y qui a x associé lambda x plus mu x carré est solution de E. Pour ça, il faut calculer y prime et y seconde et se lancer dans le calcul de x carré y prime prime de x moins 3x y prime de x plus 4y de x. Je vous épargne les calculs, vous pouvez les faire chez vous. On se rend compte effectivement que tout se simplifie et que c'est bien égal à zéro. Donc, toutes les solutions de cette forme sont effectivement solutions de l'équation. Alors, qu'est-ce qu'on peut dire par conclusion? Les solutions de E sont, par analyse synthèse, l'ensemble des solutions qui est les fonctions qui a x associé lambda à l'aine de x plus mu, le tout facteur de x carré lambda et mu appartenant à R. Alors, j'aimerais juste revenir à la fin de l'exercice sur ce raisonnement en analyse synthèse qui n'est pas simple à saisir. Donc, qu'est-ce qu'on a fait concrètement? On a dit si y était solution de E, alors à ce moment-là, la forme des solutions de z, c'était celle-ci, les solutions qu'on a trouvées, question C. Et maintenant, on pose autre chose, c'est si on part des solutions que l'on a trouvées, et bien elles sont effectivement solutions. Donc, par analyse synthèse, les seules solutions de l'équation sont celles-ci. Donc, en effet, s'il y a des solutions, elles sont de ces formes-là, et s'il y a de ces formes-là, et bien elles sont solutions. Donc, à ce moment-là, on peut directement affirmer que l'ensemble des solutions est celui-ci. Je voudrais revenir aussi sur le terme que j'ai mis ici de degré de liberté. En fait, on a trouvé ici un ensemble de solutions de l'équation. Et combien de degré de liberté sur les paramètres, sur les réels en question? Et bien, on avait 1 et 2. Donc, en soit, on aurait pu simplement conclure à partir, en montrant que y de cette forme-là, avec lambda et mu réel, est solution de l'équation, comme on aurait atteint les 2 degrés de liberté nécessaires à définir l'ensemble des solutions. On sait que c'est dans le cours, l'ensemble des solutions de cette équation est de dimension 2. Et bien, à ce moment-là, on pouvait en déduire l'égalité nécessaire. Or, ici, on a fait quand même un réellement par aliénation synthétique, qui est bien plus beau, et qui est nécessaire à bien maîtriser pour affronter les colles et les concours. Et à partir de là, on se retrouve sur des méthodologies, soit à appliquer, puisque ça ne correspond pas exactement au cours, soit des questions de base. Et à ce moment-là, on déroule ce qu'on sait faire. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt!

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