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Fonctions - Métropole 2022
Cet exercice concerne les fonctions logarithmiques et se compose de plusieurs questions.
Dans la première question, on nous donne une équation avec la fonction logarithmique et on nous demande combien de solutions elle a. En résolvant l'équation, on trouve deux solutions, donc la réponse est "exactement une solution".
Dans la deuxième question, on nous donne une fonction et on nous demande si elle est convexe ou concave. En utilisant la dérivée seconde de la fonction, on trouve qu'elle a un point d'inflexion, donc la réponse est "elle a un point d'inflexion".
Dans la troisième question, on nous donne une fonction et on nous demande de trouver une primitive de cette fonction. En utilisant une méthode rapide, on identifie une forme similaire à celle de la dérivée du logarithme, et on trouve que la primitive est "-1,5 log de (1 - x carré)".
Dans la quatrième question, on nous donne une fonction et on nous demande dans quel intervalle elle est strictement positive. En étudiant le signe du polynôme correspondant, on trouve que la fonction est strictement positive dans l'intervalle (-3, 2), donc la réponse est "x appartient à (-3, 2)".
Dans la cinquième question, on nous donne une fonction et on nous demande l'équation de sa tangente en un point donné. En utilisant la dérivée de la fonction et les coordonnées du point, on trouve que l'équation de la tangente est "2x - 1".
Enfin, dans la dernière question, on nous donne une inégalité avec des logarithmes et on nous demande quel ensemble de solutions est correct. En résolvant l'inégalité, on trouve que les valeurs de x doivent être dans l'intervalle (-∞, -2) U (1, +∞), donc la réponse est "x ∈ (-∞, -2) U (1, +∞)".
Voilà pour ce résumé SEO-friendly de l'exercice sur les fonctions logarithmiques.
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Probabilités - Métropole 2022
Cet exercice de bac sur les probabilités consiste en deux parties. Dans la première partie, il faut calculer des probabilités en utilisant des intersections, des arbres de probabilités, des probabilités conditionnelles, et parfois des probabilités d'indépendance. Dans la deuxième partie, on étudie des variables aléatoires qui suivent généralement une loi normale. On cherche par exemple l'espérance ou à partir de quel valeur la probabilité est supérieure à 0,99.
Dans cet exercice, on nous parle d'une maladie appelée l'erlichiose chez les coyotes de l'état de l'Oklahoma aux États-Unis. On nous donne des informations sur un test qui permet de détecter cette maladie. La probabilité qu'un coyote soit malade est de 70% et si le coyote est malade, le test est positif dans 97% des cas. Si le coyote n'est pas malade, le test est négatif dans 95% des cas. On nous demande de calculer différentes probabilités et de déterminer la valeur prédictive positive et négative du test.
Dans la deuxième partie de l'exercice, on nous parle de l'échantillon de 5 coyotes capturés au hasard. On associe à chaque coyote le nombre de tests positifs. On utilise la loi binomiale pour calculer la probabilité qu'un seul coyote ait un test positif dans cet échantillon. On nous demande ensuite de calculer la probabilité qu'au moins 4 coyotes sur 5 aient un test positif et de déterminer combien de coyotes doivent être
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Géométrie - Métropole 2022
Cet exercice de géométrie dans l'espace porte sur plusieurs concepts tels que l'orthogonalité, les équations cartésiennes, les représentations paramétriques, les projections orthogonales, les longueurs et les volumes de tétraèdres.
Tout d'abord, nous devons déterminer les coordonnées des points E, F, G et K dans un repère donné. En utilisant une lecture graphique, nous trouvons que les coordonnées sont les suivantes : E (0, 0, 1), F (1, 0, 1), G (1, 1, 1) et K (1, 1,5, 0).
Ensuite, nous devons montrer que le vecteur N (2, -2, 1) est orthogonal au plan E, G, K. Pour cela, nous utilisons la définition d'orthogonalité entre un vecteur et deux vecteurs non collinéaires d'un plan. En calculant les produits scalaires entre N et les vecteurs EG et EK, nous obtenons des résultats de 0. Ainsi, N est bien orthogonal au plan E, G, K.
Nous devons également montrer que le plan E, G, K est admet une équation cartésienne de la forme 2x - 2y + z - 1 = 0. Pour cela, nous utilisons le fait que le vecteur N est orthogonal au plan E, G, K, ce qui implique une équation cartésienne de la forme 2x - 2y + z + D = 0. En remplaçant les coordonnées du point E dans cette équation, nous trouvons que D = -1. Ainsi, le plan E, G, K admet bien l'équation cartésienne demandée.
Ensuite, nous devons déterminer la représentation paramétrique de la droite D, qui est orthogonale au plan E, G, K et qui passe par le point F. Comme le vecteur N est orthogonal au plan E, G, K, il peut être utilisé comme vecteur directeur de la droite D. En utilisant les coordonnées du point F (1, 0, 1) et du vecteur N, nous obtenons la représentation paramétrique de la droite D : x = 1 + 2t, y = -2t, z = 1 + t.
Nous devons également trouver les coordonnées du projeté orthogonal L de F sur le plan E, G, K, qui sont (5/9, 4/9, 7/9). Pour cela, nous utilisons le fait que le point L est à la fois sur la droite D et le plan E, G, K. En résolvant les équations résultantes, nous trouvons que le paramètre t est égal à -2/9. En remplaçant cette valeur dans les coordonnées de la droite D, nous obtenons les coordonnées du point L comme demandé.
Ensuite, nous devons justifier que la longueur LF est égale à 2/3. En utilisant la formule classique de distance dans l'espace, nous calculons la distance LF en substituant les coordonnées dans la formule et obtenons le résultat de 2/3.
Nous devons également calculer l'aire du triangle EFG et en déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à 1/6. En utilisant la formule de l'aire d'un triangle (demi-produit des longueurs des côtés), nous trouvons que l'aire du triangle EFG est de 1/2. En utilisant la formule du volume d
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Fonctions - Métropole 2022
Dans cet exercice, nous étudions différentes questions sur les fonctions logarithmes.
La première question concerne l'équation f(2x) = log(1 + x^2) = 2022. En passant à l'exponentielle des deux côtés de l'équation, nous obtenons 1 + x^2 = e^2022. Comme e^2022 est strictement positif, l'équation admet deux solutions : la racine carrée de e^2022 et son opposé.
La deuxième question porte sur la convexité de la fonction G définie par G(x) = x log(x) - x^2. En calculant la dérivée seconde de G, nous pouvons observer que celle-ci est positive entre 0 et 1/2, puis devient négative à partir de 1/2. Par conséquent, la fonction G a un unique point d'inflexion.
La troisième question demande de trouver une primitive de la fonction f définie par f(x) = x / (1 - x^2). En identifiant u' / u, nous pouvons reconnaître la dérivée de log(1 - x^2). Ainsi, la primitive de f est -1.5 log(1 - x^2).
La quatrième question concerne l'ensemble de définition de la fonction associée à l'expression log(-x^2 - x + 6). Comme nous savons que le logarithme est défini lorsque son argument est strictement positif, nous devons étudier le signe du polynôme -x^2 - x + 6. En déterminant son discriminant, nous trouvons deux racines, et en analysant les signes entre et à l'extérieur de ces racines, nous concluons que l'ensemble de définition est (-3, 2).
Enfin, la dernière question concerne une inéquation logarithmique. En simplifiant l'expression, nous obtenons x + 3 < (x + 1)^2. Après étude d'un polynôme du second degré, nous déterminons que l'inégalité est vérifiée pour x appartenant à (-∞, -2) U (1, +∞).
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MPSI/PCSI
Probabilités - Métropole 2022
Dans cet exercice de bac sur les probabilités, nous devons calculer des probabilités en utilisant des intersections et des arbres de probabilités. Nous devons également utiliser des probabilités conditionnelles et parler d'indépendance. Dans la deuxième partie de l'exercice, nous devons travailler avec des variables aléatoires qui suivent une loi normale.
Dans la première partie, nous avons un coyote qui peut être malade (M) ou non malade (non M). Un test est réalisé et peut être positif (T) ou négatif (non T). On nous donne les informations suivantes : si le coyote est malade, le test est positif dans 97% des cas, et s'il n'est pas malade, le test est négatif dans 95% des cas.
Nous devons d'abord calculer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif. Cette probabilité est donnée par l'intersection entre M et T, soit 0,7 * 0,97 = 0,679.
Ensuite, nous devons démontrer que la probabilité de T est égale à 0,694. Nous utilisons la formule des probabilités totales en utilisant les probabilités conditionnelles. Après calcul, nous trouvons bien 0,694.
Nous devons également calculer la valeur prédictive positive du test, c'est-à-dire la probabilité que le coyote soit malade sachant que son test est positif. En utilisant la formule des probabilités conditionnelles, nous trouvons une valeur de 0,978.
Par analogie avec la question précédente, nous devons défin
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Géométrie - Métropole 2022
Dans cet exercice de géométrie dans l'espace, nous sommes confrontés à différents problèmes liés à la géométrie et à la trigonométrie. Les principales étapes de l'exercice sont les suivantes :
1. Trouver les coordonnées des points E, F, G et K dans le repère donné.
2. Montrer que le vecteur N est orthogonal au plan E, G, K en effectuant des calculs de produit scalaire.
3. Trouver l'équation cartésienne du plan E, G, K en utilisant le vecteur normal et un point du plan.
4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D orthogonale au plan E, G, K et passant par F.
5. Calculer les coordonnées du projeté orthogonal de F sur le plan E, G, K en résolvant un système d'équations.
6. Justifier que la longueur LF est égale à 2/3 en utilisant la formule de calcul de distance dans l'espace.
7. Calculer l'aire du triangle EFG et en déduire le volume du tétraèdre EFGK en utilisant les formules appropriées.
8. Déterminer le volume du tétraèdre FPMN en utilisant le théorème de la droite des milieux.
En résumé, cet exercice aborde différents concepts de géométrie et de trigonométrie dans l'espace, tels que l'orthogonalité, les équations cartésiennes, les représentations paramétriques, les projetés orthogonaux, les longueurs, les aires et les volumes dans le contexte d'un tétraèdre.
