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Oxford Imperial MAT

Le cours traite de la résolution d'une équation et de la trigonométrie. L'exercice consiste à déterminer le nombre de solutions d'une équation donnée. On factorise l'équation et on obtient deux termes possibles : cosinus puissance n de x = 0 et 1 + cosinus puissance n de x = 0. On résout ces équations en fonction des valeurs de n. Pour cosinus puissance n de x = 0, on obtient deux solutions : pi/2 et 3pi/2. Pour 1 + cosinus puissance n de x = 0, on détermine si cela peut être égal à -1 en fonction de la parité de n. Si n est pair, cela n'est pas possible, donc on ne retient pas ces solutions. Si n est impair, cela est possible et on obtient une solution : x = pi. Donc, si n est impair, il y a trois solutions, sinon il y en a deux. Ainsi, on démontre que la réponse est D ou E. Cette stratégie permet de gagner du temps lors de l'examen.

Bonjour à tous, je vous retrouve aujourd'hui pour un exercice qui est tombé à l'université d'Oxford en 2016 dans lequel on va traiter à la fois de résolution d'équation et de trigonométrie. Résolution d'équation Dans cet exercice, qu'est-ce qu'on nous dit ? Combien de solutions admet l'équation cosinus puissance n de x plus cosinus puissance 2n de x ? C'est un peu moche. Combien de solutions est-ce que ça admet entre 0 et 2pi ? Bon, réflexe, quand je vois ce truc-là, je vais le factoriser, tout de suite. On voit les différentes solutions qui sont assez intéressantes. On me dit que c'est soit 1, soit 2, soit 3, abc. Une, deux ou trois solutions, quelle que soit l'entier n. Ou bien, question D et E, réponse D et E. Peut-être un certain nombre de solutions pour les nombres impaires et un certain nombre de solutions pour les nombres opères. Le premier truc qu'on fait, nous, c'est le réflexe. Quand on voit un truc comme ça, ça se factorise, on le factorise direct. Je factorise par le terme commun le plus grand, c'est-à-dire cosinus puissance n de x. Ce qui me donne cosinus puissance n de x fois 1 plus cosinus puissance n de x, qui est égal à 0. C'est deux sources de solutions potentielles. Je résous. Cosinus puissance n de x égale 0, ça, ça amène directement à cosinus x égale 0. Entre 0 et 2pi, c'est-à-dire sur le cercle trigo, quand vous faites un premier tour. Quand est-ce que le cos peut être égal à 0 ? Ici et ici, en pi sur 2, en 3pi sur 2. Déjà, c'est au moins deux solutions. Donc, l'air de rien, hop, hop, hop. Petite stratégie pour ce genre de test, math admission test d'Oxford ou d'autres. On peut aussi, des fois, donc là, il faudra quand même résoudre un peu. Mais des fois, c'est possible de résoudre en éliminant toutes les solutions qui sont un peu débiles et qui ne marchent pas. Et en trouvant, comme ça, la solution qui reste et qui va être nécessairement la bonne. Donc là, on sait déjà que ce n'est pas 1. Il y en a deux, on est content. Ensuite, on vous dit, il reste à démontrer. Est-ce qu'il y a des solutions qui viennent du deuxième terme ? C'est-à-dire 1 plus cosinus puissance n de x égale 0. Est-ce que c'est possible que ce machin vaille 0 ? Est-ce que c'est possible que cosinus puissance n de x vaille moins 1 ? Là, une discussion est nécessaire. Ça va dépendre si n est paire ou impaire. Direct. Si n est paire, on sait que ce n'est pas possible. Ce truc-là sera positif, ça ne va pas être possible d'avoir égal à moins 1. Donc on sait tout de suite que ces trois premières solutions, elles sautent. Mais abaisser, ce n'est pas possible. Bon, on va essayer de regarder. Parce qu'il faut quand même déterminer entre ce qui se passe ici et ce qui se passe ici. Je l'ai un peu dit déjà. Quand c'est paire, là j'ai bien rédigé. Mais en fait, la solution, vous pouvez la voir très vite. Quand c'est paire, c'est toujours positif. Donc c'est mort. Ça ne sera jamais égal à moins 1. C'est foutu. Donc il n'y en aura que deux, au final, quand c'est paire. Quand c'est impaire, c'est possible d'avoir le tout qui est égal à moins 1. C'est juste qu'en x ou pi, il n'y en a qu'une seule. Donc là, dans ce cas-là, on a 3 pour n impaire. Voilà. Donc assez vite, on se rend compte que non, ce n'est pas abaisser. Et non, ce n'est pas possible que ce soit 3 pour les paires. Vu que even, c'est paire. Juste ok, si vous ne savez pas ça. Et odd, c'est impaire. Donc là, ce n'est pas possible. Il nous reste celle-ci. C'est ok, c'est démontré. Voilà, j'espère que ça vous a bien aidé. Souvent, il y a cette stratégie de détecter les questions, les réponses qui ne sont clairement pas les bonnes. Et sinon, ça vous aide un peu à rédiger optimalement et aller plus vite. J'espère que c'était clair. Posez-moi des questions si nécessaire et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. À la prochaine. Vous êtes encore là ? Ça, ça veut dire que vous voulez plus de maths ? Dans ce cas, abonnez-vous à la chaîne pour ne rater aucune des vidéos que je sors chaque semaine. Et rappelez-vous que tous les jeudis, je suis sur cette chaîne pour répondre à vos questions et corriger des exos.

Dans cette transcription d'une vidéo, l'auteur explique un exercice de mathématiques issu du Math Admission Test d'Oxford en 2016. Il s'agit de trouver le produit des 15 premiers termes d'une suite géométrique. L'auteur explique la méthode pour trouver la formule générale de cette suite et ensuite il calcule le produit en utilisant une formule connue des suites arithmétiques. La réponse est donc l puissance 105. L'auteur avertit qu'il y a plusieurs questions de ce type dans le concours et conseille de bien maîtriser ce genre d'exercice pour réussir le concours d'entrée en faculté.

Bonjour à tous, aujourd'hui un exercice tombé au MathAdmissionTest d'Oxford en 2016. C'est aussi un test qui est utilisé par la fac impériale et la fac de Warwick, selon les départements en général plus maths et sciences. Ok, donc commençons par lire l'énoncé. Une suite, donc une sequence, une suite a n, a pour premier terme a1 égale 1, simple, et les termes suivants définis comme a n plus 1 égale l fois a n. Normalement vous commencez à réfléchir et à vous dire « je connais ce genre de truc ». Quel est le produit des 15 premiers termes de cette suite ? Bon, produit, de toute une on connaît plutôt la somme, mais pourquoi pas. Première étape, on repère direct une suite géométrique. Là c'est vraiment la définition de courant basique, donc on ne vous dit pas ce que c'est l, mais c'est juste un réel, on suppose, non nul. On repère une suite géométrique de premiers termes a1 de raison l. Le seul piège possible ici, c'est que vu qu'on commence à a1 et non pas à 0, il faut bien écrire que le terme général a n s'écrit comme a1 fois l puissance n-1. Ça serait a0, on écrirait l puissance n. Bon, c'est la première question du concours en 2016, elle n'est pas censée être trop piégeuse. Vous trouvez donc l puissance n-1 parce que a1 vaut 1. Deuxième étape, logique, on fait le produit. Bon, on va regarder, le produit je l'appelle P, et P c'est donc a1 fois a2 jusqu'à a15. a1 c'est l puissance 0, donc c'est 1, fois a2 donc c'est l1, jusqu'à a15, donc je remplace 15 ici, ça fait l puissance 15-1, l puissance 14. Et donc je me retrouve avec mes propriétés de puissance qui font que j'ai un produit qui est égal à l puissance 1 plus 2 plus 3 plus 4 jusqu'à 14. Là normalement votre cerveau ne fait qu'un tour, c'est une formule connue du chapitre des suites arithmétiques en l'occurrence, la somme des 14 premiers entiers, vous la connaissez, de 1 à n c'est 1 plus 2 plus 3 jusqu'à n égale l'entier n fois le suivant, donc n plus 1 divisé par 2. Ici j'obtiens donc P égale l puissance 14 fois 15 divisé par 2, 14 sur 2 ça fait 7, 7 fois 15 ça fait 105, on a trouvé l puissance 105. C'est donc la réponse, j'ai oublié, d. Et vous êtes bien parti pour ce petit concours. Alors faites gaffe parce qu'il y a je crois 8 ou 9 questions de ce type là, donc des questions à lettres, donc ABCD, FGHI, un truc comme ça. Ensuite il y a quelques problèmes un peu plus conséquents. Il faut savoir faire ça vite et bien, je vous ai montré un exemple comme ça, vous pouvez vérifier si vous connaissez bien votre cours, si vous savez le faire sans vous tromper. J'espère que ça vous aidera pour rentrer dans la meilleure fac, et je vous dis à la prochaine, bye bye. Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

Dans cette vidéo, l'enseignant propose de résoudre un exercice tombé à l'université d'Oxford en 2016. Il explique que même si les termes utilisés peuvent sembler complexes, il est possible de les comprendre avec de la méthode et de l'analyse.

Il commence par décoder le problème et expliquer la notion d'une suite définie par des sommes successives. En calculant les premiers termes de la suite, il remarque une certaine régularité qui l'amène à formuler une hypothèse sur le calcul de xn.

En utilisant la récurrence, il vérifie cette hypothèse et démontre que xn est égal à 2 puissance n moins 1. Il précise cependant qu'il faut faire attention à exclure x0 de cette formule, car elle ne s'applique qu'aux indices de 1 à n.

Ensuite, il explique comment calculer la somme demandée. Il insiste sur l'importance de sortir x0 de la somme et de bien comprendre que l'expression précédente ne s'applique qu'aux indices de 1 à n. En utilisant la formule de la somme géométrique, il obtient finalement une réponse de 3.

En conclusion, il souligne l'importance de bien traduire les termes de l'exercice, de comprendre les premiers termes de la suite et d'appliquer les connaissances sur x0. Il encourage les étudiants à poser des questions et se dit prêt pour la prochaine vidéo.

Bonjour à tous et bienvenue dans cette vidéo où je vais vous présenter le corrigé d'un exercice tombé à l'université d'Oxford en 2016. L'idée pour moi c'est de vous montrer que, en effet, ils sont difficiles, mais qu'avec un peu de méthode, un peu de rigueur, un peu d'analyse dénoncée, on peut se rendre compte qu'ils sont accessibles pour un élève de première ou de terminale. Alors, avant de se laisser envahir par la panique quand on voit le genre de termes qu'il y a dans cet exercice, des sommes de xk, des sommes de 1 sur xk qui vont jusqu'à l'infini, etc., il faut respirer, analyser, essayer de comprendre un peu ce qu'il se passe. On va regarder, tout d'abord essayer de décoder un peu le problème, c'est la première étape, on va regarder un peu ce que ça veut dire que cette suite définie par x0 égale 1 et ensuite définie par des suites, des sommes successives. Ensuite, on va essayer de calculer peut-être une expression genre explicite de xn, et après ça, on sera capable de calculer la somme qui est demandée, c'est-à-dire la somme des 1 sur xk. Premier gros truc évident sur lequel il ne faut pas se jeter, c'est de ne pas écrire ça, c'est égal à 1 sur la somme des xk. Non, la somme des 1 sur xk, c'est la somme des 1 demi plus 1 tiers, ce n'est pas égal à 1 sur 2 plus 3. Non. Ça serait l'idée, quand je vous dis 1 demi plus 1 tiers n'est pas égal à 1 sur 2 plus 3, c'est évident, peut-être que les écritures, des fois, peuvent en confuser certains qui commenceront à écrire ce genre de choses qui est vraiment complètement interdite parce que c'est juste faux en mathématiques. Premier piège, entre guillemets. Deuxième problème un peu, c'est le plus infini ici. Ça veut dire ça, plus infini, ça veut dire que si on arrive à calculer cette somme jusqu'à n, en fait, elle peut converger quand n devient infini. On vous le dit, donc il faut comprendre que c'est ça que ça dit. Décodons d'abord le problème. On vous dit que xn est défini comme la suite, par la somme, des termes en x qui le précèdent. Bon, on peut calculer quelques termes. x1, c'est donc la somme des termes précédents, x0, tout bêtement, il n'y en a qu'un, c'est 1. x2, c'est la somme des deux précédents, x0 plus x1, c'est 2. x3, c'est x0 plus x1 plus x2. Déjà, on a compris que l'écriture là, c'était un truc compact, mais en fait, ça veut juste dire on fait la somme des précédents. x4, c'est x0 plus x1 plus x2 plus x3, ça fait 8. Tout d'un coup, je vois 1, 2, 4, 8, je commence à me dire, je crois que je sens un peu l'intuition. C'est-à-dire, x2, c'est 2 puissance 1, peut-être que c'est 2 puissance 2 moins 1. x3, c'est 2 puissance 2, donc 2 puissance 3 moins 1. Pourquoi je fais ça ? Parce que je vais me rapporter à chaque fois au même indice ici et ici. x4, c'est 8, 2 puissance 3, et en fait, c'est donc 2 puissance 4 moins 1. Et donc, j'ai envie de montrer, par récurrence, je vais vous montrer, c'est pas vraiment exactement ce qu'on appelle une récurrence forte, mais c'est une récurrence un peu plus poussée. On va essayer de montrer que xn devient 2 puissance 7 moins 1. J'ai essayé de faire une rédaction exacte, je pense qu'il y a des profs de maths qui voient ça, ils vont peut-être me lyncher un peu, mais imaginons que vous avez ce problème. Vous arrivez devant l'AMATI, il faut vite comprendre ce qui se passe. Et si vous avez compris que xn, il y a 2 puissance 7 moins 1, quand vous voyez les corrigés officiels, en gros, vous, il vous l'expédie en 2 minutes. Moi, je vais le faire un peu de manière, une récurrence un peu améliorée, en gros. C'est pas en maths sub ou maths p, peut-être qu'il faudrait faire un peu plus de détails que ce que je vais faire là, mais voilà, vous allez comprendre l'idée très vite. Je vérifie pour n égale 1, x1 égale 1, donc on trouve, quand x1 vaut 1, or 2 puissance, donc je vérifie les deux termes, or 2 puissance 1 moins 1, ça fait 2 puissance 0, ça fait 1, donc j'ai bien x1 égale 2 puissance 1 moins 1, ça marche. Hérédité, ce qu'on va faire, c'est qu'on va faire une hérédité générique, c'est que pour passer d'un terme à l'autre, cette fois-ci, c'est pas p2n qui va impliquer p2n plus 1, il me faut la vérité de la propriété pour les termes x0, x1, x2, x3. Je veux dire qu'ils sont bien tous égaux à 2 puissance 1 moins 1, et que l'ensemble de ces termes pour x0, x1, x2, jusqu'à xn, tous ensemble, vérifiant l'hypothèse de récurrence, vont pouvoir impliquer que ça marche pour le terme d'après. C'est un peu l'idée. On a donc, si j'écris quel que soit k entre 1 et n, sachant que x0 est fourni, donc ça marche, xn plus 1 égale. xn plus 1, c'est la somme de k égale 0 à n dxk. Je mets un peu un warning sign de faire attention à x0, parce que moi je connais avec ma formule de récurrence, le fait que x puissance k c'est 2 puissance k moins 1, ça ne fonctionne que pour 1 à n, parce qu'en effet si je mets pour x puissance 0, x1 dit 0, ça ferait 2 puissance 0 moins 1, ça ferait 1 sur 2. C'est faux, x0 ça vaut 1. Donc x0 ne peut pas être écrit avec cette formule. C'est pour ça que je l'exclus, ça c'est x0, je l'exclus devant, ça vaut 1, plus ensuite la somme de 1 à n dxk, et que je peux écrire 2k moins 1. Je fais juste très gaffe à ce que j'écris. La somme entre 1 et n des puissances de 2 puissance k moins 1, quand je résous, en gros j'ai 1 plus 2 plus 2 puissance 1 plus 2 puissance 2 jusqu'à 2 puissance n moins 1, ça fait 2 puissance n, le nombre de termes, moins 1 sur 2 moins 1, ça fait donc 1 plus 2 puissance n moins 1 égale 2 puissance n. C'est démontré par récurrence. Donc attention ici, il fallait bien mettre le x0 à part, sinon ça peut faire des problèmes, et ça va être une des sources d'erreur qui va perdre 30% des candidats. Donc j'ai démontré ce truc là. Maintenant faisons le calcul de la somme qui nous est demandée. On va se dire c'est simple en fait. C'est une somme, la somme des 1 sur xk, entre 0 et plus l'infini, énorme piège. Je sors, pour pouvoir exprimer le xk avec l'expression précédente, comme j'ai bien dit, xk pour n plus grand égal à 1 c'est 2 puissance n moins 1 pour 1 et plus. Je sors le x0, et je remplace ensuite pour la somme entre 1 et l'infini, xk par son expression. L'expression qui est donc valide uniquement pour les indices de 1 à n et plus l'infini. Donc je mets 1 plus ça. Pourquoi est-ce que j'insiste autant et j'ai l'air un peu lourd là-dessus ? Parce que si vous ne le faites pas, et vous gourrez et vous laissez juste ça comme ça, vous n'aurez pas ce 1. Et à la fin vous aurez une solution, qui est une de celle-ci. Je peux vous assurer qu'à coup sûr il y en a une là-dedans qui est quasiment la bonne, mais à 1 près. Vous aurez une solution qui est là-dedans mais qui n'est pas la bonne. Il faut faire très attention à ce petit détail, parce que sinon vous pouvez juste vous planter sur un truc très bête comme ça. 50% des erreurs. Je n'en sais rien. Je suppose, moi, d'expérience avec mes élèves que je prépare à ce truc-là, que le genre d'erreur va tomber là-dessus. Ce n'est pas 50%, mais vraiment beaucoup d'élèves vont se planter à cause de ça, alors que tout le raisonnement et les calculs sont bons. Ça fout les glandes. Donc vous avez 1+, j'écris ensuite la somme, 1 plus 1,5 plus 1 sur 2 au carré, etc. C'est une somme géométrique, avec raison plus petite que 1, elle converge donc vers 1 sur 1 moins q. Je remplace directement 1 plus 1 sur 1 moins 1,5. Et ça fait 3. Fin de l'exercice. Donc somme égale 3, c'est la réponse, petit d. En effet, il n'y a pas de somme qui est égale à 2, donc si vous oubliez ce petit 1 ici, dont je parlais là, d'isoler x0, à coup sûr vous allez trouver un truc qui n'est pas 3, et vous allez vous faire avoir. Soit paniquez, parce que ce n'est pas la réponse a, b, c, ni d, ni e, soit trouvez autre chose, et donc, même sans se rendre compte, ce qui est le pire, sans se rendre compte, dire à passer la d, et passer à autre chose. Donc voilà, c'est fini pour cet exercice, j'espère que ça vous aura bien inspiré. Principalement, mon point sur celui-là, c'est traduisez bien, prenez le temps de regarder pour les premiers termes, comprenez ce qui se passe, et ensuite appliquez votre cours sur x0, ce serait le point le plus important de l'exo. Et voilà, vous serez prêt pour ce genre de questions. Je vous dis à la prochaine, posez des questions si nécessaire, à toute !

cosⁿ(x) et du sinⁿ(x) dans une équation ?

Produit (et non somme) des termes d'une suite géométrique

Une somme… d'inverses… de sommes !

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