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Une fonction trigo bien moche !
Bonjour à tous ! Dans cette vidéo, nous allons analyser une question du Math Admission Test d'Oxford en 2020. La question est la suivante : "Quelle est la plus grande valeur atteinte par l'expression 3 cos²x plus sin²x plus 1 ?".
La première étape consiste à simplifier l'expression. Pour cela, nous allons utiliser une relation fondamentale de la trigonométrie qui nous dit que cos²x équivaut à 1-sin²x. En remplaçant cos²x par cette équation, nous obtenons l'expression 3-3sin²x plus 2sin²x plus 1, que nous simplifions pour obtenir 3-sin²x plus 2sin²x plus 4.
Nous remarquons qu'il y a un polynôme du second degré caché dans cette expression. Pour faciliter les calculs, nous posons une variable intermédiaire grand x égale à sin²x. Nous notons également que grand x doit être compris entre -1 et 1.
Ainsi, nous avons une nouvelle expression Q2x égale à -3 fois grand x² plus 2x plus 4. Nous devons déterminer la valeur maximale atteinte par cette fonction. Comme il s'agit d'un polynôme du second degré, nous savons qu'elle atteint son maximum. En utilisant la formule du maximum d'un polynôme du second degré, nous trouvons que le maximum est atteint en 1/3.
Nous pouvons calculer la valeur maximale en substituant 1/3 à x dans l'expression Q. Après les calculs, nous obtenons que Q de 1/3 est égal à 13/3.
Ainsi, la réponse à la question est 13/3. J'espère que ce résumé était clair et n'hésitez pas à poser des questions dans les commentaires. À bientôt pour une prochaine vidéo !
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Une suite géométrique !
Bonjour à tous, je m'appelle Antonin et je suis professeur particulier de mathématiques, spécialisé dans les examens d'entrée à l'université d'Oxford. Aujourd'hui, je vais vous présenter un exercice qui est tombé à Oxford en 2020.
L'énoncé demande combien de valeurs de l'angle x, situées entre -90° et 90°, permettent d'égaliser la somme infinie de 1/tangente(x) + 1/tangente^2(x), etc., à la tangente(x).
Pour résoudre cet exercice, on doit tout d'abord comprendre que la fonction tangente(x) est strictement croissante entre -π/2 et π/2. On remarque également qu'on a une série de nombres élevés à des puissances croissantes. Cela nous indique qu'il s'agit d'une somme géométrique.
Notre objectif est de simplifier cette somme et de trouver quand elle est égale à la tangente(x). La première étape consiste donc à simplifier la somme géométrique. Nous savons que cette somme converge si la valeur absolue de la raison (1/tangente(x)) est inférieure à 1. Ainsi, nous devons vérifier que la tangente(x) est strictement supérieure à 1 ou strictement inférieure à -1.
Ensuite, nous pouvons calculer la somme géométrique en utilisant la formule Q/(1-Q), où Q est égal à 1/tangente(x). En remplaçant Q par sa valeur, nous obtenons S = 1/tangente(x) - 1.
Enfin, nous devons résoudre l'équation tangente(x) = S. En posant Y = tangente(x), nous obtenons l'équation 1 = Y^2 - Y. En analysant cette équation, nous trouvons les valeurs de Y satisfaisant la condition d'équivalence.
Après avoir vérifié que les solutions respectent la condition de valeur absolue supérieure à 1, nous trouvons une seule solution acceptable pour tangente(x) : 1 + racine de 5/2.
En conclusion, il y a une seule valeur de l'angle x, située entre -π/2 et π/2, qui satisfait l'équation tangente(x) = 1 + racine de 5/2.
J'espère que cette explication était claire et utile. Les problèmes du MIT et du Math Admissions Test d'Oxford ne sont pas simples, mais avec une bonne décomposition et l'application de ce que nous avons appris en première et en terminale, nous pouvons trouver des solutions. La réponse à cet exercice serait donc la réponse b.
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Une suite un peu bizarre
Dans cette vidéo, le professeur de mathématiques Antonin explique un exercice tombé à l'écrit d'Oxford en 2020. L'exercice consiste à analyser une somme complexe et à en trouver la généralité. Antonin explique que la clé pour résoudre cet exercice est de comprendre la structure sous-jacente des termes de la somme. Il propose de réécrire la somme en utilisant des carrés pour faciliter l'analyse. Il indique qu'il faut comprendre que les termes de la somme sont des différences entre nombres pairs et impairs. Antonin présente alors une expression générique pour chaque terme de la somme et montre comment simplifier cette expression. Ensuite, il explique que la somme totale peut être calculée en utilisant la linéarité de la somme. Il effectue les calculs nécessaires et obtient la réponse finale. Il termine en encourageant les spectateurs à refaire l'exercice et à comprendre pourquoi certaines intuitions erronées ne fonctionnent pas.
