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Probabilités Conditionnelles

"Pour comprendre les probabilités, il est plus simple de commencer par un exemple concret. Dans votre lycée, nous pouvons prendre l'exemple des garçons et des filles. Dans ce lycée, il y a 55% de garçons et 45% de filles. Parmi les garçons, 20% sont blonds et 80% sont bruns. Chez les filles, 30% sont blondes et 70% sont brunes. Ces statistiques nous permettent de parler de probabilités conditionnelles, qui sont les probabilités qui se produisent dans un sous-groupe. Par exemple, la probabilité d'être un garçon blond est de 0,55 x 0,2.

On peut appliquer la même logique pour les filles. En utilisant ces probabilités conditionnelles, nous pouvons calculer la probabilité d'être blond dans l'ensemble du lycée en utilisant la formule P (garçon et blond) = P(garçon) x P(blond|garçon). De la même manière, la probabilité d'être blond pour les filles est calculée avec P (fille et blond) = P(fille) x P(blond|fille). Cette formule peut également être utilisée pour calculer d'autres probabilités conditionnelles.

En résumé, les probabilités conditionnelles sont les probabilités qui se produisent dans un sous-groupe. Les exemples utilisés dans cet exemple sont les proportions de garçons et de filles blonds dans un lycée. En utilisant ces probabilités conditionnelles, il est possible de calculer la probabilité d'autres événements."

Quand on commence les probas, je trouve que c'est toujours beaucoup plus simple de commencer par un exemple qui vous parle et qui est beaucoup plus concret que des formules trop théoriques. Pour vous présenter ce que c'est un arbre et puis ce que c'est les probas conditionnels, je vais prendre un exemple qui se passe dans votre lycée. Tout bêtement, alors j'ai pris des stats qui ne sont pas les stats françaises mais que je trouve pratiques. Dans un lycée, on va dire qu'on a 55% de garçons, 45% de filles. Je sais qu'en vrai c'est peut-être plus proche de 50-50, mais je ne voulais pas avoir les mêmes nombres ici, je voulais un petit peu de changement. Donc voilà, je peux définir en gros qu'un individu, quand j'en tire un au hasard, va être à 55% de chances dans l'univers des garçons, 45% de chances dans l'univers des filles. Parmi les garçons, j'observe qu'il y a 20% de blonds, 80% de bruns. Nos amis aubernes, roux, blonds vénitiens ou autres m'excuseront. Je vais simplifier encore une fois, je prends blonds et bruns pour avoir un arbre, en gros des possibilités comme ça, en branche, qui est assez didactique et pas trop trop complexe. On va dire qu'il n'y a que des blonds et des bruns dans l'univers. Dans cet univers des garçons, donc je peux définir un sous-univers ici en pointillé vert, où je comprends que parmi les garçons, il y a soit des blonds, soit des bruns. J'observe qu'il y a 20% de blonds, 80% de bruns. J'ai une petite probabilité dans l'univers des garçons, que je vais appeler P10G. Ça c'est assez intéressant, c'est un phénomène marrant. Je peux regarder chez les filles. Peut-être qu'il y a une loi naturelle de la génétique qui fait que les filles et les garçons ont la même tendance à être blonds. Vérifions, ici j'observe dans le lycée que 30% des filles vont avoir le caractère blond quand je vais dans l'univers des filles, 70% vont être brunes. Apparemment, il n'y a pas autant de chances d'être blond quand on est un garçon que d'être blond quand on est une fille. Pourquoi pas ? C'est vrai, en fait, si vous voulez, on peut imaginer ça comme des choses que j'observe. En fait, je vais en faire un modèle de probabilité, mes probabilités statistiques sont assez liées et c'est toujours plus simple d'utiliser un modèle de stats pour expliquer un peu la théorie. Donc voilà, vous avez des garçons blonds ou bruns, des filles blondes ou brunes avec un peu plus de tendance à être blondes. Ce qu'on va appeler probabilité conditionnelle, ce sont les probas qui se passent dans un sous-univers. C'est conditionnel à être un garçon, je regarde, je peux être blond ou brun avec 20-80. Probas conditionnels, c'est ça, c'est les probas de ce qui se passe dans un sous-paquet de branches, si vous voulez. Donc pareil, pour les filles, j'ai des probas conditionnels. Donc conditionnellement à être une fille, j'ai les probas qui s'appliquent d'être blondes ou brunes, 30 ou 70%. Je dis bien que c'est conditionnel à être une fille parce que si j'étais un garçon, ça ne serait pas 30-70, ça serait 20-80. Donc en gros, j'ai la proba générale dans le lycée de tirer quelqu'un, j'ai 55% de chances d'avoir un garçon, 45% de chances d'avoir une fille, et ensuite je peux définir des tirages parmi la population de garçons. Ce qui va être intéressant, c'est de dire, ok, faisons le lien maintenant avec non plus des tirages dans des sous-univers où je définis que je tire uniquement quelqu'un au hasard parmi les garçons, mais revenons un peu au global, imaginons que je tire dans le lycée, un individu, un lycéen ou une lycéenne, je tire quelqu'un et je veux la probabilité de tomber sur un garçon blond. Il faut d'abord que j'ai eu la chance, hop, 55% de chances de tomber sur un garçon et que parmi les garçons, je sois tombé sur un blond. Donc je me rends compte que la proba d'être garçon et blond, d'avoir tiré un garçon blond, c'est d'abord la proba d'avoir tiré un garçon, 0.55, mais fois ensuite 0.2 la proba d'avoir un blond. Parce que la proportion de blond parmi les garçons, c'est 20% apparemment. Donc c'est ça la formule des probas conditionnels. C'est de dire, je peux avoir la proba d'avoir un garçon blond et je la divise en deux morceaux, en fait ce sont les deux sous-branches. La proba totale de garçon blond, c'est d'abord tirer un garçon, puis tirer un blond. Vous allez me dire, mais c'est évident que c'est 0.55 fois 0.2, et bien tant mieux, parce que c'est ça la formule. Donc proba de garçon et blond, donc É en proba c'est le signe inter, comme ça, on veut les deux caractéristiques É garçon et blond, on met un inter entre les deux. C'est 0.55 fois 0.2, c'est É garçon fois É blond dans l'univers des garçons. Ça c'est la proba conditionnelle. Je peux faire la même chose pour les filles, et dire É fille et blond, ça sera 0.45 fois 0.3, même chose. Donc en fait je peux ensuite inverser ça, et dire, ok, mais je peux aussi exprimer ce qui se fait assez classiquement, on veut exprimer la proba dans le sous-univers, et dire pour les filles, proba d'être blonde c'est la proba d'être une fille blonde, divisée par la proba d'être une fille. Voilà, si je veux dire quelle est la proba dans ce sous-univers, c'est la proba du chemin total, divisée par cette première partie du chemin, parce que je ne veux que cette partie-là. On peut la voir dans les deux sens, donc. Voilà, c'est une question de définition, moi j'aime bien la prendre en G inter BL égale ça, mais souvent on vous la présente comme celle-ci, donc il suffit de faire une petite division et de mettre ça en dessous, ou les filles ici. La formule générale devient, avec deux événements non plus blonds, filles, garçons, bruns, mais des événements quelconques A et B, la formule suivante, la probabilité de l'événement B, sachant que l'on est dans l'univers A, donc sachant A, c'est P2, A et B à la fois, mais divisé par P2. Voilà devient cette formule, rappelez-vous toujours si vous avez un doute, ce genre d'exemple. Vraiment le sachant c'est le sous-univers ici, où il se passe des choses, où j'obtiens bien 100% des garçons, j'ai une petite proba qui est définie en interne, et on peut la lier à la proba totale qui est ici, c'est assez intuitif, c'est assez basique, j'espère que j'ai bien expliqué. Posez-moi des questions si vous en avez, n'hésitez pas à mettre des commentaires. Je continue dans les prochaines vidéos à vous expliquer les probas.

Les probabilités conditionnelles

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