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Théorèmes de Convergence

Le cours porte sur les limites de fonctions, en se concentrant sur le concept de composition. Le professeur donne un exemple concret et simple pour illustrer l'idée de composition. Il explique que la composition consiste à décomposer une fonction en plusieurs morceaux et montre comment cela s'applique à l'exemple donné.

Il souligne également l'importance de démontrer les résultats obtenus par composition, en ajoutant que cela nécessite une autorisation théorique. Il promet de revenir sur cette notion plus tard.

En résumé, le cours met en avant l'idée de composition dans le calcul des limites de fonctions et explique comment appliquer cette notion à un exemple spécifique.

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Un point très important sur le chapitre des limites de fonctions, la composition. Alors, avant même de faire toute définition théorique, j'ai envie de commencer par un exemple très concret, très simple, celui-ci. Alors, quand on voit ce truc là, qu'est ce qu'on se dit ? On va vouloir prendre la limite, quand x n'a vraiment l'infini, de racine de 1 plus e de x. L'idée de la composition c'est de se dire que ça c'est un peu un gros bloc qu'on va décomposer en petits morceaux. Donc les deux morceaux, ça serait par exemple, d'abord on a x, auquel on associe la fonction 1 plus e de x, mon premier bloc, ma première fonction, à laquelle ensuite je surajoute racine. Donc je fais racine de la fonction précédemment définie. Donc si j'appelle f de x la fonction 1 plus e de x, je vais pouvoir dire que mon tout ici, le total, c'est en fait racine de f de x. Donc je suis en train de chercher racine de f de x. Et j'essaie de comprendre en gros comment les limites vont fonctionner. Intuitivement, je sais que 1 plus e de x, ça converge quand x tend vers moins l'infini, vers 1 plus 0. Donc si je peux rajouter discrètement ma racine, j'ai envie de dire que ça fait 1. C'est ça, l'idée de la composition. Sauf que ce que je viens de faire là, c'est-à-dire se rajout un peu en screed là, hop hop hop, on rajoute une petite racine, ça fait un truc bien, c'est pas intuitif. C'est super intuitif mais c'est pas automatique, il faut le démontrer. Et donc il y aura un theorem de maths qui va vous autoriser à faire ça. Rien de nouveau, rien de complètement fou et qui sort complètement de l'ordinaire, c'est juste qu'il faut que vous sachiez que c'est pas c'est pas genre automatique. C'est bien d'avoir l'autorisation entre guillemets et la validation théorique. Et donc c'est ça qu'on va faire ici. Donc la manière de le penser, la manière de le rédiger, je vais vous le rédiger un peu mieux, va être la suivante. Alors voilà comment on va le rédiger en général dans les exos et tout. Après je vous remontre la définition officielle. Comme limite de 1 plus e2x quand x est vraiment à l'infini. On prend le premier objet, celui que j'ai appelé f ici, égal 1. Et comme on connaît aussi un résultat sur le comportement de la racine, cette fois-ci on veut le comportement de la racine non pas en moins l'infini, mais en la valeur qu'atteint 1 plus e2x. Moi je vais pas faire racine de moins l'infini, je vais faire racine de la chose qu'atteint, que va atteindre 1 plus e2x. Et donc en fait 1 plus e2x ça vaut 1, donc on veut savoir quelle est la limite de racine en 1. Donc j'appelle ça grand x ici. Si j'ai un grand x qui est envers 1, quelle est la limite de racine de grand x ? Si vous voulez on pourrait même remplacer grand x par truc. Si j'ai truc qui est envers 1, est-ce que racine de truc est envers 1 ? Enfin est envers quelque chose. Oui, envers 1. Vous savez quoi, je vais même le faire. On va remplacer grand x ici par truc. Je vais vraiment vous donner l'idée que c'est en fait l'idée que c'est quand on met un x, ça va vraiment vous aider à conceptualiser un peu plus quoi. Donc l'idée C'est qu'on a racine, limite de truc qui est envers 1, de racine de truc c'est 1. Super, il se trouve qu'au dessus j'ai justement défini un truc très spécifique qui s'appelle en gros 1 plus e2x. Donc c'est ça en gros ce qu'on fait. On dit on a ce truc là, on a cette chose là, limite de 1 plus e2x ça c'est un truc qui est envers 1. Or je sais que racine, c'est un truc, quand le truc est envers 1, ça, ça est envers 1 également. C'est comme ça qu'il faudrait le rédiger. Donc vous ne mettrez pas truc bien sûr, vous mettrez grand x ou petit u, ça dépend. Juste pour indiquer que ce n'est pas le même x, qu'on ne parle pas de la même chose qu'au dessus, mais juste qu'on parle du principe général du comportement de la fonction racine. Vous ferez comme votre prof dit encore une fois, vous mettez un u grand x. Donc on vous dirait, comme on a ce premier résultat et qu'on a un résultat sur le comportement de la seconde fonction, celle qui vient se superposer à f, en le point vers lequel tend f, vers le point 1, alors on peut bien conclure que la combinaison des deux fait 1. Pour la rédaction c'est ça en gros. Et donc si je conclue, en fait le théorème vous dit quand on a pour a, b, c soit un réel, soit plus infini ou moins infini, et deux fonctions f et g, si on a la limite de f2x quand x est envers a égale b, c'est à dire ici pour moi c'était a égale moins l'infini dans l'exemple au dessus, b égale à 1, et la limite de grand x quand x est envers b, petit 1, quand grand x est envers petit b égale 1, g de grand x, g ici étant racine, si cette limite vaut c, alors en fait la limite du tout, bien composée, c'est à dire g de f2x quand x est envers moins l'infini, quand x est envers a, égale c. En gros on a le droit de faire en deux étapes. Tout ce que ça dit, donc la formule est un peu moche, toute la définition est un peu bizarre, mais ça dit que ce truc très intuitif que vous avez envie de faire. Voilà, n'hésitez pas, toujours une petite question dans la faq si besoin, et sinon je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Limite des fonctions composées

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